Limite

Problema:

Si individui il valore del seguente limite:

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{x²+2x³}+x}{\sin² x}$

Soluzione:

Il limite può essere riscritto come segue tramite la tendenza asintotica $\lim_{ε(x) \rightarrow 0} \sin (ε(x)) \approx ε(x)$:

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{x²+2x³}+x}{\sin² x}=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{x²+2x³}+x}{x²}$

Considerando gli infinitesimi più veloci l'espressione risulta esser equivalente a:

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{x²+2x³}+x}{x²}=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{x²+2x³}}{x²}=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-\sqrt{1+2x}}{x}$

Nota: il segno negativo è dovuto al valore assoluto visto che si sta considerando una tendenza ad un valore minore di 0.

Poiché il numeratore è un infinitesimo più veloce del denominatore l'espressione può esser approssimata come segue:

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-\sqrt{1+2x}}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-} -\sqrt{1+2x}=-1$

dalla √x^2 = |x| segue che

$ \displaystyle\lim{x \to 0^-} \frac {|x|\sqrt{1+2x}+x}{sin^2 x} = $

Le x coinvolte nel calcolo del limite sono negative quindi |x| = -x

$ \displaystyle\lim{x \to 0^-} \frac {x(1-\sqrt{1+2x})}{sin^2 x} = $

Moltiplichiamo e dividiamo per $(1+\sqrt{1+2x})$. Al numeratore usiamo la formula della differenza di quadrati (a²-b²)=(x+b)(a-b)

$ \displaystyle\lim{x \to 0^-} \frac {x(1-1-2x)}{sin^2 x(1+\sqrt{1+2x})} = $

$ \displaystyle\lim{x \to 0^-} \frac {-2x^2}{sin^2 x(1+\sqrt{1+2x})} =  -1 $

Si, viene proprio -1.