[Risolto] Limite

Problema:

Si risolva il seguente limite:

$\lim_{x \rightarrow 0} (\sqrt{2(1-\cos x)}-\frac{xe^{x²}}{x} - \sin x)$.

Soluzione:

Per individuare il limite richiesto è opportuno riscriverlo sottoforma di frazione ed utilizzare le tendenze asintotiche dato che vi è un $ε(x) \rightarrow 0$.

$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x\sqrt{2(1-\cos x)}-xe^{x²}- x\sin x}{x})$

Dato che per $ε(x) \rightarrow 0$ si ha che $1-\cos ε(x)$ ~ $\frac{ε²(x)}{2}$ e $\sin ε(x)$ ~ $ε(x)$, il tutto può esser riscritto come:

$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x\sqrt{2(\frac{x²}{2})}-x(e^{x²}- \sin x)}{x})$

$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x²-x(e^{x²}- x)}{x})$

Semplificando per $x$ si ottiene:

$\lim_{x \rightarrow 0} (x-e^{x²}-x)$

$\lim_{x \rightarrow 0} (-e^{x²})=-1$.