Buongiorno,
per questo limite mi conviene applicare Taylor?
lim (n-->inf) [ ln ( 1 + n^3 + n) - 3ln n]/[n ( 1- cos (1/n^4))]
grazie per il vostro aiuto
Buongiorno,
per questo limite mi conviene applicare Taylor?
lim (n-->inf) [ ln ( 1 + n^3 + n) - 3ln n]/[n ( 1- cos (1/n^4))]
grazie per il vostro aiuto
Sì, sviluppando in serie di Taylor risulta utile:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{\log{(1 + n^3 + n)} - 3\log{(n)}}{n \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)}\right)}\]
Numeratore:
\[\lim_{n \to \infty} 3\log{(n)} + \log{\left(1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)} \quad \text{tale che}\]
\[\log{\left(1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)} \approx \frac{1}{n^2} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^3}\right)\,;\]
allora
\[\log{(1 + n^3 + n)} - 3\log{(n)} \approx \frac{1}{n^2}\,.\]
Denominatore:
\[1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)} \approx \frac{1}{2n^8} \mid n \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)}\right) \approx \frac{1}{2n^7}\,.\]
Allora
\[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{2n^7}} = \lim_{n \to \infty} 2n^5 = \infty\,.\]
Ergo il limite diverge a infinito.
Per le proprietà dei logaritmi il numeratore va come
ln(1+1/n^2 + 1/n^3) = 1/ n^2 + 1/n^3
Il denominatore va come n*1/2*(1/n^4)^2
L'andamento asintotico di tutta la funzione e' equivalente a
1/n^2 : (1/(2n^7)) = 2 n^5
e il limite vale +oo.