LIMITE

Sì, sviluppando in serie di Taylor risulta utile:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\log{(1 + n^3 + n)} - 3\log{(n)}}{n \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)}\right)}\]

Numeratore:

\[\lim_{n \to \infty} 3\log{(n)} + \log{\left(1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)} \quad \text{tale che}\]

\[\log{\left(1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right)} \approx \frac{1}{n^2} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^3}\right)\,;\]

allora

\[\log{(1 + n^3 + n)} - 3\log{(n)} \approx \frac{1}{n^2}\,.\]

Denominatore:

\[1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)} \approx \frac{1}{2n^8} \mid n \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{n^4}\right)}\right) \approx \frac{1}{2n^7}\,.\]

Allora

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{2n^7}} = \lim_{n \to \infty} 2n^5 = \infty\,.\]

Ergo il limite diverge a infinito.

Per le proprietà dei logaritmi il numeratore va come

ln(1+1/n^2 + 1/n^3) = 1/ n^2 + 1/n^3

Il denominatore va come n*1/2*(1/n^4)^2

L'andamento asintotico di tutta la funzione e' equivalente a

1/n^2 : (1/(2n^7)) = 2 n^5

e il limite vale +oo.