Limite

zero

perché equivale a lim_n->oo (n + 1 - n)/[rad_3(n^2) + rad_3(n) + 1] =

= lim_n->oo  1/rad_3(n^2) = "1/oo" = 0

Nello svolgimento sono stati utilizzati

il prodotto notevole A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)

con A = rad_3(n) e B = 1

la gerarchia degli infiniti, per cui rad_3(n) e 1 si trascurano

nella somma rispetto a rad_3(n^2)

Il limite è della forma indeterminata: (∞ - ∞)

Per rompere tale indeterminazione si opera pensando di avere la frazione:

((n + 1)^(1/3) - n^(1/3))/1

ed operando la razionalizzazione del numeratore ricordando che:

Α^3 - Β^3 = (Α - Β)·(Α^2 + Α·Β + Β^2)

quindi si prende come fattore razionalizzante: (Α^2 + Α·Β + Β^2)

Nel nostro caso la frazione diventa:

((n + 1) - n)/((n + 1)^(2/3) + (n·(n + 1))^(1/3) + n^(2/3))=

=1/((n·(n + 1))^(1/3) + (n + 1)^(2/3) + n^(2/3))

per n----> +inf

assume il limite forma determinata (1/+inf) e quindi:

LIM((n + 1)^(1/3) - n^(1/3)) = 0

n---> +∞