Un tronco di piramide regolare esagonale ha i perimetri delle basi di $30 \mathrm{~cm}$ e $24 \mathrm{~cm}$ e l'altezza uguale alla semisomma degli spigoli delle basi del tronco. Calcola il volume.
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\left[175,25 \mathrm{~cm}^3\right]
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Un tronco di piramide regolare esagonale ha i perimetri delle basi di $30 \mathrm{~cm}$ e $24 \mathrm{~cm}$ e l'altezza uguale alla semisomma degli spigoli delle basi del tronco. Calcola il volume.
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\left[175,25 \mathrm{~cm}^3\right]
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Livello 1
Ripassi
Il volume V del tronco di piramide di altezza h e aree delle basi a > b > 0 è il prodotto fra un terzo dell'altezza e la somma delle aree delle basi con la loro media geometrica
* V = (h/3)*(a + b + √(a*b))
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L'area S dell'esagono regolare di perimetro p = 6*L è
* S = (3*√3/2)*(p/6)^2 = (√3/24)*p^2
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Esercizio
Base maggiore
* perimetro p = 30
* spigolo p/6 = 5
* area a = (√3/24)*30^2 = 75*√3/2
Base minore
* perimetro p = 24
* spigolo p/6 = 4
* area b = (√3/24)*24^2 = 24*√3
* altezza h = (30/6 + 24/6)/2 = 9/2
* volume V = ((9/2)/3)*(75*√3/2 + 24*√3 + √((75*√3/2)*(24*√3))) = (549/4)*√3 ~= 237.72397 ~= 237.724 cm^3
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Risultato atteso
* V = 175.25 cm^3
anzitutto è una violazione di una regola studiata in quarta elementare: le cifre decimali della misura di un'area devono essere in numero pari e quelle di un volume in numero multiplo di tre; poi sembra non avere alcuna parentela con i calcoli sviluppati qui su (sarà un errore di composizione, guarda gli esercizi vicini!).
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Genius I
@exprof 👍
Il volume di un tronco di piramide è uguale al prodotto di un terzo della sua altezza per la somma delle superfici delle due basi con la radice quadrata del loro prodotto.
L = 30/6 = 5,0 cm
l = 24/6 = 4,0 cm
h = (L+l)/2 = 4,50 cm
A = 0,866025*L^2*3 = 0,866*25*3 = 75*0,866025
a = 0,866025*l^2*3 = 48*0,866025
Volume V = 1,5*(3*0,866025*(25+16)+√(3/4*75*48)) = 237,724.. cm^3
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Genius II