Una possibile definizione di "parabola" è: luogo dei punti equidistanti dalla retta "direttrice" e dal punto "fuoco" ad essa esterno.
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Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* vertice V(- 4, 16)
ha equazione
* Γ(a) ≡ y = 16 + a*(x + 4)^2
parametrica nell'apertura a != 0.
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La condizione di passare per A(0, 12) impone il vincolo
* 12 = 16 + a*(0 + 4)^2
da cui
* apertura a = - 1/4 < 0 (quindi concavità in basso, verso y < 0)
* distanza focale f = 1/(4*|a|) = 1
* fuoco F(xV, yV - f) = (- 4, 15)
* direttrice d ≡ y = yV + f = 17
* equazione Γ(- 1/4) ≡ y = 16 - (x + 4)^2/4 ≡
≡ y = 4^2 - ((x + 4)/2)^2 ≡
≡ y = (4 + (x + 4)/2)*(4 - (x + 4)/2) ≡
≡ y = - (x + 12)*(x - 4)/4 ≡
≡ y = - ((x + 8)*x - 48)/4 ≡
≡ x^2/4 + 2*x + y - 12 = 0
* pendenza dy/dx = m(x) = - (x + 4)/2
Con asse, direttrice, vertice, fuoco e zeri il grafico si fa subito.
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Dalla forma di Horner
≡ y = - ((x + 8)*x - 48)/4
per x = 2 si calcola P(2, 7)
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Dalla forma normale canonica
* Γ ≡ x^2/4 + 2*x + y - 12 = 0
si ricava la polare p del polo P rispetto a Γ
* p ≡ 2*x/4 + 2*(x + 2)/2 + (y + 7)/2 - 12 = 0 ≡ y = 13 - 3*x
che, essendo P su Γ per costruzione, è la richiesta tangente di pendenza m = - 3.
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Il punto Q ha l'ascissa di P e l'ordinata di d, quindi Q(2, 17).
Il segmento FQ, base del triangolo isoscele FPQ,
* giace sulla retta q ≡ y = (x + 49)/3, di pendenza m' = 1/3
* ha punto medio M(- 1, 16)
* è lungo |FQ| = 2*√10
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Poiché
* p e q sono ortogonali (m*m' = - 1)
* M giace su p (y = 13 - 3*x → 16 = 13 - 3*(- 1) ≡ VERO)
risulta che p è l'asse di FQ.
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Infine da
* |FP| = |PQ| = |7 - 17| = 10
* |FQ| = 2*√10
si ha il perimetro 2*(10 + √10) ~= 26.32
Per l'area (30) ti lascio scegliere
* |FQ|*|PM|/2
* |PQ|*|xF - xP|/2
* formula di Erone
* formula dell'area di Gauss
* WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-4%2C15%29%282%2C7%29%282%2C17%29
vedi un po' tu!
