Legame tra differenziale e derivata

il differenziale di  una funzione f(x) è la variazione infinitesimale della funzione rispetto alla variabile indipendente. Per una funzione f(x) di una sola variabile x , il differenziale df(x) è definito come:

df(x) = f'(x) dx,

dove f'(x) è la derivata della funzione f rispetto a x, cioè il limite del rapporto incrementale ∆f(x)/∆x, per ∆x che tende a 0, e dove dx è l'incremento infinitesimo della variabile indipendente.

ciao  @emanuele_galletti

Credo tu intenda altro in quanto l'unica relazione matematica tra differenziale e derivata è

\[df := f'(\phi) \cdot d\phi \implies \frac{df}{d\phi} := f'(\phi)\,,\]

ovvero la notazione differenziale Leibniziana, antecedente alla notazione Lagrangiana introdotta a seguito della riformulazione, con l'impiego dei limiti matematici, di Cauchy e Weierstrass; non esiste alcun teorema o corollario a riguardo, essendo una definizione.

Non credo proprio! E, se qualcuno ci riesce, gli clicco con piacere un cuoricino.
Il legame è la moltiplicazione per un fattore infinitesimo: cosa ci può mai essere da spiegare?
Per definizione: il differenziale "dy" della funzione "y = f(x)" della variabile reale "x" è il prodotto fra la derivata "f'(x) = D[f(x)]" e la variazione infinitesima "dx" della variabile indipendente
* dy = f'(x)*dx
da tale definizione discende la notazione alternativa per la derivata
* D[f(x)] = dy/dx = f'(x)
come ho già detto non credo proprio che qualcuno si azzardi a darti la dimostrazione di una definizione.

Considero il caso più semplice possibile dove la funzione f(x) in oggetto è una funzione reale a variabile reale.

$f(x) : D \to ℝ; \qquad D \subseteq ℝ$

$ x_0 \in Int(D)$

• Derivata di f(x) in $x_0$.

E' il limite se esiste finito del rapporto incrementale; cioè la derivata è un numero reale.

• Differenziale di f(x) in $x_0$

Si dice che f(x) è differenziabile in $x_0$ se esiste un numero reale m tale che valga

$ f(x_0+h) = f(x_0) + m \cdot h +o(h); \qquad \text {per} \,\, h \to 0$

quindi il differenziale è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali che associa ad ogni valore assegnato ad h il corrispondente $m \cdot h$. E' opportuno fare riferimento ai grafici precedenti (significato geometrico) dove compare h (o dx = Δx) e $m \cdot h$ (o df(x)). Notare che df(x) non è Δf(x) anzi

Δf(x)-df(x) è composto da infinitesimi di ordine superiore al primo.

In parole più ruspanti la funzione f(x) è differenziabile in x₀ se in quel punto ammette la retta tangente.

.  

Il legame? 

Qual è il legame tra limite del rapporto incrementale e l'esistenza della tangente

La relazione è data dalla tesi del teorema seguente, teorema che vale solo per funzioni di una variabile, 

f(x) è derivabile in x₀ se e solo se f(x) è differenziabile in x₀

Oss. dalla dimostrazione, che puoi trovare nei libri di Analisi 1, segue che 

• m è unico
• m = f'(x₀)
• df(x) = f'(x) dx
• m = coefficiente angolare della retta tangente (significato geometrico)

Nota. In molti corsi si preferisce sostituire le considerazioni precedenti con il classico disegno che evidenzia la conclusione $ \frac {df(x)}{dx} = m$