Le velocità nell'urto elastico

Poiché l'urto è elastico, la quantità di moto totale si conserva; quindi, convertendo le unità di misura, si ha

\[m_Av_{A_i} + m_Bv_{B_i} = m_Av_{A_f} + m_Bv_{B_f} \iff 160020 = 18000v_{A_f} + 14000v_{B_f}\,.\]

L'energia cinetica totale nell'istante temporale prima dell'urto deve essere uguale a quella totale nell'istante dopo l'urto elastico; quindi

\[\frac{1}{2}m_Av_{A_i}^2 + \frac{1}{2}m_Bv_{B_i}^2 = \frac{1}{2}m_Av_{A_f}^2 + \frac{1}{2}m_Bv_{B_f}^2 \iff\]

\[m_Av_{A_i}^2 + m_Bv_{B_i}^2 = m_Av_{A_f}^2 + m_Bv_{B_f}^2 =1422000 = 18000v_{A_f}^2 + 14000v_{B_f}^2\,.\]

Risolvendo il sistema di due equazioni a due incognite $(v_{A_f}, v_{B_f})$

\begin{cases}
160020 = 18000v_{A_f} + 14000v_{B_f} \\ 
1422000 = 18000v_{A_f}^2 + 14000v_{B_f}^2
\end{cases}

Si ottengono

\[v_{A_f} = 1,111 \: \frac{m}{s} = 4,0\: \frac{km}{h}\]

\[v_{B_f} = 8,89 \: \frac{m}{s} = 36,0\: \frac{km}{h}\,.\]

P.S. Otterrai, risolvendo il sistema di equazioni, due valori per $v_A$ e due valori per $v_B\,$: Ovviamente devi considerare esclusivamente quelli dopo l'urto.

ante urto

ma*VoA = 18000*32 kh*km/h

2Eo = 18.000*32^2  

post urto 

ma*Va+mb*Vb = ma*Voa

Vb = ma(Voa-Va)/mb = 18.000(32-Va)/14000  = 9/7(32-Va)

18.000*Va^2+14000*81/49(1024+Va^2-64Va) = 

41.143Va^2-1.481.143Va+23.698.286 = 18.000*32^2  

Va^2-36Va+128 = 0 

Va = (36-√36^2-128*4/2) = 4,00 km/h

V'a = (36+√36^2-128*4/2) = 32,00 km/h ( non accettabile)

Vb = (9/7)*(32-4) = 9*4 = 36 km/h

Urto elastico: si conserva la quantità di moto e l'energia cinetica.

Il vagone B è fermo mB vB = 0.

Lasciamo le velocità in km/h; (sarebbe corretto usare  m/s);  troveremo le velocità finali in km/h.

1)  mA vA + 0 = mA vA' + mB vB' ( Qo = Q');

18 000 * 32 = 18 000  vA' + 14 000 vB';

576 000 = 18 000  vA' + 14 000 vB';  (1)

2) condizione per la conservazione dell'energia:

1/2 mA vA^2 + 1/2 mB vB^2 = 1/2 mA vA'^2 + 1/2 mB vB'^2; 

da questa relazione si ricava la seguente formula semplificata fra le velocità che vale solo se si conserva l'energia; è molto più facile da ricordare e da usare; (in fondo ti metto la dimostrazione).

vA + vA' = vB + vB'; (2)

32 + vA' = 0 + vB'  (2)

vB' = 32 + vA';  (2)  sostituiamo nella  (1)

18 000  vA' + 14 000 (32 + vA') = 576 000;  (1)

18 000  vA' + 448 000 + 14 000 vA' = 576 000; 

32 000 vA' = 576 000 - 448 000;

vA' = 128 000 / 32 000 = 4,0 km/h; (velocità di A dopo l'urto, A perde velocità e fa partire B);

vB' = 32 + 4,0 = 36 km/h; (velocità di B dopo l'urto).

@dust ciao 

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′ ;

Se l’urto è elastico si deve conservare l’energia cinetica.

1/2 m1 V1^2 + 1/2 m2 V2^2 = 1/2 m1 V1’^2 + 1/2 m2 V2’^2;

semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

m1 (V1’^2 – V1^2) = m2 (V2^2 – V2’^2);

svolgendo le differenze di quadrati, diventa:

m1 (V1′ – V1) (V1′ + V1) = m2 (V2 – V2′) (V2 + V2′)

m1 (V1′ – V1) = m2 ( V2 – V2′);    dividendo a membro a membro, otteniamo

(V1′ +V1) = ( V2 + V2′) ;
questa è la condizione di conservazione dell’energia cinetica per un urto elastico, insieme alla conservazione della quantità di moto:

m1V1 + m2V2 = m1V1′ + m2V2′

V1′ + V1 =  V2 + V2′.

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