Le rette perpendicolari e parallele

Guarda la figura che ho disegnato per capire meglio la dimostrazione; per semplicità ho colorato gli angoli congruenti dello stesso colore, in modo che tutto sia più immediato.

L'angolo viola $\widehat{BAC}$, è l'angolo al vertice di un triangolo isoscele, che è supplementare agli angoli alla base $\beta \cong \beta '$ (che sono congruenti perché il triangolo dato è isoscele), quindi questo significa che $\alpha + \beta + \beta ' = \alpha + 2 \beta = 180^{\circ} \implies 2\beta = 180^{\circ} - \alpha$. Guarda l'angolo piano sulla retta $\overline{AP}$, anche l'angolo arancione è supplementare ad $\alpha$, quindi risulta che $\alpha + \delta = 180^{\circ} \implies 180^{\circ} - \alpha = \delta = 2 \beta$. Per costruzione il triangolo $CAP$ è isoscele perché $\overline{AP} \cong \overline{AB} \cong \overline{AC}$, per cui gli angoli alla base segnati in azzurro $\epsilon \cong \epsilon '$ sono congruenti perché angoli alla base di un triangolo isoscele. L'ampiezza degli angoli alla base è $\frac{180^{\circ}- \delta}{2}= \frac{180^{\circ}-2\beta}{2} = 90^{\circ} - \beta$, tuttavia $180^{\circ}-2\beta = \alpha$, quindi $90^{\circ} - \beta = \frac{\alpha}{2}$; l'angolo $\widehat{BCP}$ è quindi la somma $\beta + \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ}$, quindi l'angolo in $\widehat{C}$ è retto a prescindere dalla lunghezza dei lati del triangolo isoscele di partenza o dell'angolo al vertice di quest'ultimo.

Se non ti piacciono le dimostrazioni, ho creato questo video per aiutarti a visualizzare i risultati di ciò che abbiamo dimostrato.