le radici quadrate

Per radice quadrata di un numero non negativo si possono intendere due cose: 

a) radice aritmetica 

b) radice algebrica

se si parla di radice aritmetica hai ragione tu, se si parla invece di radice algebrica ha ragione la tua professoressa. 

E`un problema annoso...dipende dal contesto e da come viene definita la "radice quadrata". In generale il calcolo della radice quadrata viene dal problema di come si risolve l'equazione $x^2=25$, che ha chiaramente due soluzioni (nel campo dei numeri Reali), che sono $x_1=5$ e $x_2=-5$. Ecco, qui nasce il problema. A me  hanno insegnato a scrivere:

$x_1=\sqrt{25}$ 

$x_2=-\sqrt{25}$ 

cosa che trovo estremamente "pulita" come notazione. 

Ma in alcuni testi si trova che $\sqrt{25}$ ha due risultati, ovvero +5 e -5, e che il risultato positivo viene chiamato "radice principale", mentre quello negativo "radice secondaria". 

Personalmente non mi sono addentrato più a fondo per chiarire la questione, ma ho la netta impressione che non tutti gli autori siano concordi. Magari mi sbaglio.

Tu che parere hai, @exProf ?

La radice quadrata di un numero è l'inverso della potenza 2;

(-5)^2 = + 25;

(+5)^2 = + 25;

Quando si eleva alla potenza 2 il risultato è sempre positivo, quindi:

radicequadrata(25) può essere sia + 5 che - 5;

la radice quadrata ha sempre due soluzioni.

Tu ti sbagli. Hai letto che non esiste la radice quadrata di un numero negativo.

radicequadrata(-25) = ?

Non esiste un numero reale che elevato alla seconda dia un numero negativo.

Sotto il segno di radice non si può mettere un numero negativo.

Bisogna inventare numeri detti immaginari, (detti numeri complessi), dove esiste la radice quadrata di -1.

radicequadrata(-1) = i;

allora possiamo fare:

radicequadrata(- 25) = radicequadrata(25) * radicequadrata(-1) = +- 5i.

ciao @elena_r

@elena_r
Nel rispondere alla richiesta di parere rivoltami da Sebastiano userò idee e parole che tu studierai fra almeno un paio d'anni, secondo che scuola avrai scelto.
Cercherò di usarle in modo da facilitarti nel seguire il discorso, ma in ogni caso il succo della risposta lo capirai in ogni caso.
Questo succo fa riferimento a un fatto che già conosci: alcune specie di numeri sono definite usando una coppia di numeri di altre specie. Hai sicuramente incontrato alle elementari la specie "frazione" composta da un numeratore intero e un denominatore naturale; e, visto che scrivi di radice quadrata, ti sarà capitato qualche valore che, semplificato al massimo , è espresso come somma o differenza fra un radicale e un altro numero. I numeri che servono per ragionare di radici sono composti da una coppia ordinata di numeri reali (x, y); ciascuno è rappresentato da un punto su un piano (detto piano di Argand-Gauss) con due assi ortogonali ed è identificato oltre che dalla coppia (x, y) anche dalla coppia (modulo, anomalia) dove modulo è la distanza del punto dall'incrocio degli assi (origine del piano) e anomalia è l'ampiezza dell'angolo fra un determinato semiasse e la congiungente punto-origine.
ABBI PAZIENZA, ti prego!
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@Sebastiano
Un parere? àccipe ràtum, sia pure con un paio d'ore di ritardo.
Secondo me è sacrosanta la clausola "dipende dal contesto", ma trovo discutibile dire "dipende da come viene definita" perché se il contesto è quello standard (grammatica italiana + teorema fondamentale dell'algebra) allora
1) al singolare "LA radice N-ma del valore V" è la sola radice principale w[0], quella col modulo che è la radice aritmetica del modulo di V e con l'anomalia che è 1/N di quella di V;
2) al plurale "LE radice N-me del valore V" sono tutte le N radici garentite dal teorema fondamentale dell'algebra disposte ai vertici di un N-agono regolare, con un vertice sulla w[0] e gli altri equamente spazioati a 1/N di giro l'uno dall'altro.
Poi, per distinguere il singolare dal plurale, io mi baso sulla sintassi dell'espressione algebrica
a) singolare: V^(1/N) = w[0]
b) plurale: z^N = V ≡ {w[0], w[1], ..., w[N - 1]}
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@elena_r
CONCLUSIONE
A) √25 = 25^(1/2) = 5
B) z^2 = 25 ≡ {- 5, 5}
per N = 2 il 2-agono è un segmento.
Puoi vedere il pentagono delle cinque radici quinte di meno trentadue nel paragrafo "Roots in the complex plane" ("complex plane" è il piano di Argand-Gauss) al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E5%3D-32

Nel campo dei numeri reali è ciò che sta sotto radice a dover essere positivo (se fosse negativo saremmo nel campo dei numeri complessi che avrai modo di apprendere più in la).

Sappiamo , dall'algebra, che +*+ = +, ma anche -*- = + , pertanto 25 è tanto  +5^2 quanto  (-5)^2 e , di conseguenza, le radici di indice pari hanno come soluzione tanto il più quanto il meno  e √25 è ± 5 

A rigore anche -5 ha per quadrato 25.

Tuttavia, quando occorre che la radice quadrata sia una funzione, si deve scegliere un segno, e per

convenzione si sceglie il +.