[Risolto] le funzioni

Problema:

Considera gli insiemi $A = {x \in \mathbb{N} | x ≤ 4}$ e $B = {y \in \mathbb{Z} | -2≤ y ≤ 5}$ e la relazione $a$ che associa $x \in A$ a $y \in B \leftrightarrow y=x-1$

 (i) Qual è l'immagine di 0? E la controimmagine di 2?

 (ii) Rappresenta A per elencazione e spiega perché è una funzione.

 (iii) Indica l'insieme immagine della funzione.

 (iiii) Stabilisci se la funzione è iniettiva, suriettiva, biunivoca.

Soluzione:

Nota: nell'esercizio proposto dall'utente $\mathbb{N}$ comprende anche lo zero.

(i) per individuare l'immagine di $0$ grazie all'applicazione $ a: A \rightarrow B, y=x-1$ è necessario prendere il numero $0$ dall'insieme A e vedere a cosa corrisponde nell'insieme B. 

$a(x)=x-1 \rightarrow y=0-1=-1$ L'immagine di $0$ risulta dunque essere $y=-1$.

La controimmagine è ricavabile sostituendo $y=2$ e trovando $x$. $a(x)=x-1 \rightarrow 2=x-1 \rightarrow x=3$

(ii) Poiché $A$ è definita dai numeri naturali minori od uguali a $4$ si ha che $A =$ {$0, 1, 2, 3, 4$} . L'applicazione $a$ è una funzione dato che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio.

(iii) Poiché $B$ è definito dai numeri relativi compresi tra $-2$ e $5$ si ha che $B =$ {$-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$}. L'insieme $Im_A \subset B$ risulta però essere $Im_A = ${$ -1, 0, 1, 2, 3$}

(iiii) La funzione non è suriettiva dato che vi sono elementi del codominio scoperti $Scoperti=${$-2, 4, 5$}. La funzione non è neanche biunivoca dato che non è suriettiva. La funzione è iniettiva dato che vale $f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$.