[Risolto] Le equazioni di grado superiore al primo

Ciao, ecco a te:

Esercizio 1:

$x-5=x^{2}-25$

$1=(x+5)$

$x=-4$

$x=5$

Oppure

$x^{2}-x-20=0$

$\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}$

$x=5$ $ x=-4$

 Esercizio 2:

$2a^{3}-4a^{2}=16a$

$2a^{3}-4a^{2}-16a=0$

$2a(a^{2}-2a^{2}-8)=0$

A questo punto possiamo utilizzare la scompsizonen in fattori oppure utilizzare la formula risolutiva per l'equazione di secondo grado.

Utilizziamo la prima strada:

$2a(a-4)(a+2)=0$

$a=0$ $a=4$ $a=-2$

Il primo esercizio si può anche svolgere utilizzando il cosiddetto trinomio caratteristico:

$ x-5 = x^2-25 $
$ -x^2+25+x-5 = 0 $
cambio segno e calcolo: $ x^2-x -20 = 0 $
dobbiamo trovare due numeri che moltiplicati danno $ -20 $ (cioè il termine senza incognita) e sommati danno $ -1 $ che è il coefficiente della $ x $ di primo grado.
I due numeri sono $ -5, +4 $ quindi l'equazione può essere scomposta con
$ (x-5)(x+4) = 0 $
che ci dà le soluzioni
$ x=5, x=-4 $
Attenzione! Il trinomio caratteristico si può usare facilmente solo se il coefficiente di $ x^2 $ è $ 1 $, altrimenti diventa molto difficile e non è una tecnica conveniente.
Per trovare i due numeri che ti interessano parti sempre dal determinare quali numeri moltiplicati danno il prodotto. Nel nostro caso potevano essere
$ 20,1 $ oppure $ 5,4 $ oppure $ 10,2 $
quali di questi "distano" $ 1 $ tra di loro? Solo $ 5,4 $.
Adesso ci occupiamo dei segni: il prodotto è $ -20 $, quindi uno dei due è di segno negativo. La somma è $ -1 $, quindi quello di segno negativo è il numero più grande, quindi $ -5,+4$.
Non è l'unico modo, ma io lo faccio sempre così e mi trovo bene!