[Risolto] LAGRANGE

a.  

$ f(x) = x^3 - x^2 \quad $  definita in [-1, 0]

La funzione è rappresentata da un tratto di una cubica.

Calcoli preliminari

⊳ b - a = 1

⊳ f(b) = f(0) = 0

⊳ f(a) = f(-1) = -2

⊳ $f'(x) = 3x^2 -2x $

Applichiamo Lagrange; ne segue che esiste (almeno) un punto c∈(-1, 0) la cui derivata coincide con il rapporto incrementale calcolato in b e in a. Cioè

$ \frac {f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$

$ 2 = 3c^2 -2c $

Le cui due soluzioni sono

$ c_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{3}; \quad \text{da scartare poiché fuori dall'intervallo (-1,0)}$

$ c_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{3};  OK.$

.

Grafico.

Sul grafico sono riportati i punti a, b e i corrispondenti f(a), f(b). Il verde tratteggiato rappresenta gli elementi del rapporto incrementale, la pendenza di tale rapporto vale 2.

In rosso è presente il punto c.

Il teorema di Lagrange ci dice che la tangente in f(c) è eguale al rapporto incrementale ,

in altre parole che la retta tangente in f(c) è parallela al segmento verde tratteggiato.