Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni definite e derivabili In $|a, b|$. Dimostra che, se $f(x)=\operatorname{kg}(x)$ per ogni $x \in[a, b]$, dove $k$ è una costante reale non nulla, allora le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ hanno gli stessi punti di Lagrange in $[a, b]$.
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punti
Livello 2
f(x) e g(x) soddisfano entrambe le ipotesi del teorema di Lagrange.
Per il teorema esistono n punti $c_i \in [a,b]$ con i= 1....n tali che
$ \frac {f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c_i); \quad \forall i = 1, 2, ....,n $
Consideriamo la relazione f(x) = k g(x) con k costante reale diversa da zero, l'ultima identità può essere scritta come
$ \frac {k \cdot g(x)(b)-k \cdot g(a)}{b-a} = k \cdot g'(c_i); \quad \forall i = 1, 2, ....,n$ $ k\frac {g(x)(b)- g(a)}{b-a} = k \cdot g'(c_i); \quad \forall i = 1, 2, ....,n $
$ \frac {g(x)(b)- g(a)}{b-a} = g'(c_i); \quad \forall i = 1, 2, ....,n $
questo dimostra che, non solo, le due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso numero di punti c ma che i punti sono gli stessi.
6084
punti
Livello 2
