LAGRANGE

Problema:

Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni definite e derivabili in [a,b] . Dimostra che se le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ differiscono per una costante $c$, cioè $f(x)=g(x)+c$ per ogni $x \in [a,b]$, allora hanno gli stessi punti di Lagrange.

Soluzione:

Poiché le due funzioni sono continue e derivabili in [a,b], è possibile utilizzare il teorema di Lagrange secondo il quale $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Per $f(x)=g(x)+c$ si ha $g'(c)=\frac{g(b)+c-(g(a)+c)}{b-a}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$, mentre per $g(x)$ si ha $g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$.

Dato che le derivate di $f(x)$ e $g(x)$ sono le medesime, si deduce che le loro differenze non dipendano dalla costante $c$ e che dunque, indipendentemente da essa, abbiano gli stessi punti di Lagrange.