2187
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Livello 2
Problema:
Dimostra che se $f(x)=\frac{1}{x}$, allora il punto $c$ che soddisfa la tesi del teorema di Lagrange relativamente alla funzione $f$ ed all'intervallo [a,b], con $a,b \in \mathbb{R}^+$, è la media geometrica di $a$ e $b$.
Soluzione:
Poiché la funzione $f(x)=x²$ soddisfa le tesi del teorema di Lagrange, si ha che:
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, ossia
$-\frac{1}{c²}=\frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{b-a}=\frac{\frac{a-b}{ab}}{b-a}=\frac{a-b}{-ab(a-b)}=-\frac{1}{ab}$
$ab=c²$
$c=±\sqrt{ab}$
Poiché la media geometrica di $n$ numeri è definita come $M_g=^k\sqrt{\prod_{i=1}^{k} n_i}$, si ha che quella di $a$ e $b$ combacia con il valore del punto $c$ trovato.
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Livello 4