[Risolto] LAGRANGE

a.  

$ f(x) = \frac{x+1}{x+2} \quad $  definita in [0, 2]

La funzione è rappresentata da un tratto di un ramo della funzione omografica (iperbole equilatera)

Calcoli preliminari

⊳ b - a = 2

⊳ f(b) = f(2) = 3/4

⊳ f(a) = f(0) = 1/2

⊳ $f'(x) = \frac {1}{(x+2)^2}$

Applichiamo Lagrange, ne segue che esiste (almeno) un punto c∈(0, 2) la cui derivata coincide con il rapporto incrementale calcolato in b e in a. Cioè

$ \frac {f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$

$ \frac {1}{8} = \frac {1}{(c+2)^2} $

$ (c + 2)^2 = 8$

$ c = 2\sqrt{2} - 2$

.

Grafico.

Sul grafico sono riportati i punti a, b e i corrispondenti f(a), f(b). Il verde tratteggiato rappresenta gli elementi del rapporto incrementale, la pendenza di tale rapporto vale 1/8.

In bleu è presente il punto c.

Il teorema di Lagrange ci dice che la tangente in f(c) è eguale al rapporto incrementale ,

in altre parole che la retta tangente in f(c) è parallela al segmento verde tratteggiato.