La retta

Per determinare se esistono punti in comune tra due rette del fascio kx + (k-3)y - k = 0, dobbiamo capire se il fascio è proprio o improprio.

Un metodo per determinare se esistono punti in comune (e quindi se il fascio è proprio) è quello di prendere due rette qualsiasi del fascio, corrispondenti a due valori distinti di k, e metterle a sistema. Se il sistema ha una soluzione, allora il fascio è proprio e la soluzione rappresenta le coordinate del centro del fascio. Se il sistema non ha soluzione (è impossibile), allora il fascio è improprio.

Scegliamo due valori di k, ad esempio k = 0 e k = 1:

Per k = 0: L'equazione diventa -3y = 0, quindi y = 0.

Per k = 1: L'equazione diventa x - 2y - 1 = 0.

Mettiamo a sistema le due equazioni ottenute

In questo caso Il sistema ha come soluzione (x, y) = (1, 0) quindi è fascio proprio (ha punti di intersezione)

Evidenziamo le rette direttrici, raccogliendo il parametro k

-3y + k(x+y-1) = 0

Determiniamo l'intersezione tra le due direttrici, risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} -3y &= 0 \\ x+y-1 &= 0 \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è

• x = 1
• y = 0

Tutte le rette si incontrano in un solo punto, il centro C(1, 0). Si tratta quindi di un fascio proprio.