[Risolto] La parabola

@eva_massaro

Ciao.

Una qualsiasi parabola tangente all'asse delle x si può scrivere come:

y = a·(x - k)^2

Il passaggio per P(-1,1/4) si scrive:

1/4 = a·(-1 - k)^2 da cui-------> a = 1/(4·(k + 1)^2)

Si pone quindi la condizione di esistenza k ≠ -1

A questo punto la parabola generica dipende solo da k!

{y = 1/(4·(k + 1)^2)·(x - k)^2

{y = 2·x

Quindi mettiamo a sistema tale parabola con la retta come fatto sopra e procediamo con il metodo di sostituzione:

1/(4·(k + 1)^2)·(x - k)^2 = 2·x

1/(4·(k + 1)^2)·(x - k)^2 - 2·x = 0

(x^2 - 2·x·(4·k^2 + 9·k + 4) + k^2)/(4·(k + 1)^2) = 0

quindi:

x^2 - 2·x·(4·k^2 + 9·k + 4) + k^2 = 0

Poniamo la condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(4·k^2 + 9·k + 4)^2 - k^2 = 0

((4·k^2 + 9·k + 4) - k)·((4·k^2 + 9·k + 4) + k) = 0    (differenza di due quadrati!)

(4·k^2 + 8·k + 4)·(4·k^2 + 10·k + 4) = 0

Annullamento prodotto:

4·k^2 + 8·k + 4 = 0--------> k = -1 SI ESCLUDE! (per le C.E.)

4·k^2 + 10·k + 4 = 0--------> k = - 1/2 ∨ k = -2 

Quindi due parabole

Per k=-1/2:

a = 1/(4·(- 1/2 + 1)^2)------> a = 1

y = (x + 1/2)^2--------> y = x^2 + x + 1/4

Per k=-2:

a = 1/(4·(-2 + 1)^2)-------> a = 1/4

y = 1/4·(x + 2)^2-----> y = x^2/4 + x + 1

@eva_massaro

@Eva_Massaro @StefanoPescetto @LucianoP
Io di solito clicko su "Prossima discussione" se trovo una domanda scritta male; qui intervengo perché sbalordito dal calibro di due responsori che hanno risposto senza fare un plissé.
MA VI SIETE ACCORTI CHE ("asse verticale tangente all'asse x" al singolare e senza virgola) DUE RETTE ORTOGONALI SONO STATE DICHIARATE TANGENTI?