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[Risolto] LA GRAVITAZIONE FISICA TERZA SUPERIORE

  

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Buongiorno, avrei bisogno di un grande aiuto per questi esercizi di fisica che mi sono stati assegnati per le vacanze di Pasqua. 

QUESITO 1

Consideriamo, in una regione di spazio, due punti materiali aventi la medesima massa $m$ e un punto $P$ di massa $M$ equidistante da essi, come indicato in figura A.
A Determina l'espressione del modulo della forza $F(x)$ che agisce su $P$.
B Con laiuto del grafico (figura B), che rappresenta la funzione
$$
y=f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3 / 2}}
$$
determina la posizione del punto $P,$ con $x>0$, affinché la forza $F(x)$ sia massima.
$$
\left[\frac{2 G M m x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}}, x=\frac{\sqrt{2}}{2} a\right]
$$

QUESITO 2

Un punto materiale di massa incognita $M$ genera un campo gravitazionale nello spazio circostante. In tale regione di spazio viene inserita una piccola massa $\frac{M}{100}$. Supponi di conoscere il punto $\left(a, E_{a}\right)$ del grafico dell'energia potenziale della massa più piccola.

\text { A Determina un'espressione per } M \text { in relazione a tale punto. }

 

D8001693 B477 47FD 82E5 9A15C13CB3F5

 

FE752FE4 87CC 4050 AF70 3711F50C0EBE

 

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1 Risposta



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Su questo sito dovresti richiedere solo un esercizio alla volta e dimostrare di aver almeno capito come iniziare a risolvere i vari problemi.

Ti mostro come risolvere il primo e il secondo esercizio:

1)

a)

Dato che le masse $m$ sono uguali e si trovano alla stessa distanza dal punto $P$ di massa $M$ la componente lungo l'asse $x$ della forza vale:

$2 \cdot \frac{GmM}{r^2} cos(\theta)$ $u_x$

 

in cui $r^2 = x^2 + a^2$  (basta applicare il teorema di Pitagora);

$\theta$ = angolo formato tra l'asse delle $x$ e dal segmento che congiunge una delle masse $m$ con $M$;

$u_x$ = versore con direzione dell'asse $x$.

 

Conoscendo la trigonometria posso vedere che  $r cos(\theta) = x$ 

di conseguenza  $cos(\theta) = \frac{x}{r}$

riscrivo $F(x)$ come:

$2 \cdot \frac{GmM}{r^2}$ $\frac{x}{r}$ $u_x$

= $2 \cdot \frac{GmMx}{r^3}$ $u_x$

= $2 \cdot \frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ $u_x$

In valore assoluto $F(x)$ = $2 \cdot \frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$

 

b)

Per trovare il punto sull'asse delle $x$ in cui la forza è massima basta calcolare la derivata rispetto alla $x$ di $F(x)$ e poi uguagliarla a $0$ in modo da trovare il massimo della funzione:

$\frac{d}{dx}$ $\frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ =

= $(GmM) \cdot \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$

 

Eguaglio l'espressione a $0$; posso eliminare il denominatore perché essendo composto dalla somma di due quadrati, con $x\not=0$ e $a\not=0$, il numero è sicuramente positivo.

Dunque ricavo:

$2x^2 = a^2$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

 

2)

 

La formula dell''energia potenziale gravitazionale è:

$E_p(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r}$

Nel tuo caso $m_1 = M$, $m_2 = \frac{M}{100}$ e $r = a$.

$E_p(r) = -G \frac{M^2}{100a}$

Mettendo in evidenza $M$ ricavo che:

$M= \sqrt{-\frac{100E_p a}{G}}$

 

Se hai dubbi sugli altri esercizi chiedi pure.

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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