[Risolto] LA GRAVITAZIONE FISICA TERZA SUPERIORE

Su questo sito dovresti richiedere solo un esercizio alla volta e dimostrare di aver almeno capito come iniziare a risolvere i vari problemi.

Ti mostro come risolvere il primo e il secondo esercizio:

1)

a)

Dato che le masse $m$ sono uguali e si trovano alla stessa distanza dal punto $P$ di massa $M$ la componente lungo l'asse $x$ della forza vale:

$2 \cdot \frac{GmM}{r^2} cos(\theta)$ $u_x$

in cui $r^2 = x^2 + a^2$  (basta applicare il teorema di Pitagora);

$\theta$ = angolo formato tra l'asse delle $x$ e dal segmento che congiunge una delle masse $m$ con $M$;

$u_x$ = versore con direzione dell'asse $x$.

Conoscendo la trigonometria posso vedere che  $r cos(\theta) = x$ 

di conseguenza  $cos(\theta) = \frac{x}{r}$

riscrivo $F(x)$ come:

$2 \cdot \frac{GmM}{r^2}$ $\frac{x}{r}$ $u_x$

= $2 \cdot \frac{GmMx}{r^3}$ $u_x$

= $2 \cdot \frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ $u_x$

In valore assoluto $F(x)$ = $2 \cdot \frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$

b)

Per trovare il punto sull'asse delle $x$ in cui la forza è massima basta calcolare la derivata rispetto alla $x$ di $F(x)$ e poi uguagliarla a $0$ in modo da trovare il massimo della funzione:

$\frac{d}{dx}$ $\frac{GmMx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ =

= $(GmM) \cdot \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$

Eguaglio l'espressione a $0$; posso eliminare il denominatore perché essendo composto dalla somma di due quadrati, con $x\not=0$ e $a\not=0$, il numero è sicuramente positivo.

Dunque ricavo:

$2x^2 = a^2$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} a$

2)

La formula dell''energia potenziale gravitazionale è:

$E_p(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r}$

Nel tuo caso $m_1 = M$, $m_2 = \frac{M}{100}$ e $r = a$.

$E_p(r) = -G \frac{M^2}{100a}$

Mettendo in evidenza $M$ ricavo che:

$M= \sqrt{-\frac{100E_p a}{G}}$

Se hai dubbi sugli altri esercizi chiedi pure.