La fionda gravitazionale

 I pianeti non stanno fermi, ma si muovono nelle loro orbite attorno al Sole, succede che la velocità non cambia se misurata in riferimento a essi, mentre è differente se la si misura rispetto al Sole. Il guadagno di energia cinetica è spiegato dal fatto che è il pianeta a perdere parte della propria, rallentando il suo moto di rivoluzione e stringendo la sua orbita anche se in maniera del tutto impercettibile. Questo perché il trasferimento di energia dal pianeta al veicolo è inversamente proporzionale alle masse: il pianeta perde così una quantità irrisoria di energia, lasciando praticamente invariata la propria orbita. In base alla traiettoria, l'astronave può guadagnare fino a due volte la velocità orbitale del pianeta.

Urto elastico:  m = massa sonda; v1 = velocità della sonda prima dell'interazione; v2 dopo l'interazione con Giove;

M = massa Giove; V1 = velocità di Giove rispetto al Sole, V2 dopo l'interazione;

m * (- v1) + M *  V1 = m * v2 + M * V2;  (1)

- v1 + v2 = V1 + V2;  (2)

conservazione dell'energia cinetica, vale questa relazione tra le velocità, prima e dopo l'urto, la somma resta costante.

dalla  (2) ricaviamo la velocità V2 di Giove dopo l'interazione

V2 = v2 - v1 - V1;  (2)

Vogliamo ricavare v2, velocità della sonda dopo l'interazione gravitazionale, (urto) con Giove in moto.

dalla  (1)

m * v2 + m * v1 = M V1 - M V2;

m * v2 + m * v1 = M * (V1 - v2 + v1 + V1);

m * v2 + M * v2 = M * (2 V1 + v1) - m * v1;

v2 * (m + M) =  M * (2 V1 + v1) - m * v1;

v2 = [M * (2 V1 + v1) - m * v1] / (m + M); velocità della sonda dopo l'urto;

M >> m; dividiamo per M:

v2 = [(2V1 + v1) - (m/M) * v1] / (m/M + 1);

m/M tende a 0;

v2 = (2V1 + v1 ) / 1;

la velocità della sonda dopo l'interazione con Giove diventa v1 + 2V1;

invece la velocità di Giove cambia di una quantità infinitesimale, infatti:

V2 = v2 - v1 - V1;  (2)

V2 = (2 V1 + v1) - v1 - V1 = V1; (resta uguale).

Ciao  @dev-sylently

Ho fatto tutti i calcoli della conservazione della quantità di moto e dell'energia.

Vi+U = Vf-U

Vf = Vi+2U

se Vi = U :

Vf = Vi+2Vi= 3Vi

Ekf = Eki*3^2 = 9Eki