Per ciascuna delle seguenti circonferenze di equazione assegnata, stabilisci se è simmetrica rispetto all'asse $x$, se è simmetrica rispetto all'asse y e se è simmetrica rispetto all'origine.
a. $x^2+y^2-2 x-1=0$
b. $x^2+y^2-2 y-1=0$
c. $x^2+y^2-2 x-2 y-1=0$
d. $x^2+y^2-2 x-2 y=0$
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Livello 2
Se applicando una trasformazione di simmetria $\tau$ a una equazione di una curva otteniamo la stessa equazione allora la curva è simmetrica rispetto a $\tau$.
Nel nostro caso abbiamo da considerare 3 trasformazioni:
$ \tau_1 = \left\{\begin{aligned}x' &=x \\ y' &=-y \end{aligned} \right.$
2. Simmetria rispetto all'asse delle y
$ \tau_2 = \left\{\begin{aligned}x' &=-x \\ y' &= y \end{aligned} \right.$
3. Simmetria rispetto all'origine degli assi
$ \tau_3 = \left\{\begin{aligned}x' &=-x \\ y' &= -y \end{aligned} \right.$
Passiamo all'applicazione.
a) $x^2+y^2 -2x-1 = 0$
a.1 Applichiamo $\tau_1$
$x'^2 +y'^2 -2x' - 1 = 0$
La circonferenza espressa con le nuove coordinate ha la stessa forma, le due equazioni sono eguali quindi c'è simmetria rispetto all'asse delle x.
a.2 Applichiamo $\tau_2$
$x'^2 +y'^2 +2x' - 1 = 0$
La circonferenza espressa con le nuove coordinate è diversa infatti compare il termine +2x'. Non c'è simmetria rispetto all'asse y.
a.3 Applichiamo $\tau_3$
$x'^2 +y'^2 +2x' - 1 = 0 $
La circonferenza espressa con le nuove coordinate è diversa infatti compare il termine +2x'. Non c'è simmetria rispetto all'origine degli assi.
Non rimane altro che seguire la falsariga anche per le altre 3 circonferenze.
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Livello 2
