[Risolto] Iperbole parametro K

a) x^2/(3 - k) + y^2/(4k + 3) = 1

é un'iperbole se (3 - k) (4k + 3) < 0

(k - 3) * 4(k + 3/4) > 0

intervalli esterni

k < - 3/4 V k > 3

b) per avere i fuochi sull'asse y deve essere

3 - k < 0 e 4 k + 3 > 0

k < 3 e k > - 3/4 => k > 3

c) deve essere un caso particolare di b)

- x^2/(k - 3) + y^2/(4 k + 3) = 1

b^2 = 4k + 3

a^2 = k - 3

c^2 = a^2 + b^2 = 5k = 4*5 = 20 => k = 4

accettabile perché maggiore di 3

d) 9/(3 - k) + 4/(4k + 3) = 1

9(4 k + 3) + 4(3 - k) = (4k + 3)(3 - k)

36k + 27 + 12 - 4k + (4k + 3)(k - 3) = 0

32k + 39 + 4k^2 - 12k + 3k - 9 = 0

4k^2 + 23k + 30 = 0

k = (-23+- rad(529 - 480))/8 = = (-23+-7)/8

k1 = - 30/8 = -15/4 accettabile ( minore di - 3/4)

k2 = -16/8 = -2 accettabile ( minore di -3/4)

ha sbagliato a scrivere 2

sostituendo -2

x^2/5 + y^2/(-5) = 1

x^2 - y^2 = 5

GRAFICO

https://www.desmos.com/calculator/0w6dhcspnu

Ripasso
Ogni conica a centro riferita ai suoi assi e non degenere, comprese le ellissi immaginarie, ha equazione di forma
* x^2/a^2 ± y^2/b^2 = ± 1, con (a*b)^2 > 0
e fra esse le iperboli sono
* x^2/a^2 - y^2/b^2 = - 1, con fuochi sull'asse y
* x^2/a^2 - y^2/b^2 = + 1, con fuochi sull'asse x
ed hanno semidistanza focale c = √(a^2 + b^2), ipotenusa del triangolo rettangolo con i semiassi per cateti.
Esercizio
Esame dell'equazione
L'equazione
* x^2/(3 - k) - y^2/(- 4*k - 3) = 1 ≡
≡ x^2/(3 - k) + y^2/(4*k + 3) = 1
rappresenta iperboli se e solo se
* (3 - k)*(4*k + 3) < 0 ≡ (k < - 3/4) oppure (k > 3)
con fuochi sull'asse y se e solo se
* ((3 - k)*(4*k + 3) < 0) & (3 - k < 0) & (4*k + 3 > 0) ≡ k > 3
con fuochi sull'asse x se e solo se
* ((3 - k)*(4*k + 3) < 0) & (3 - k > 0) & (4*k + 3 < 0) ≡ k < - 3/4
Risposte ai quesiti
a) (k < - 3/4) oppure (k > 3)
b) k > 3
c) F2(0, 2*√5) è sull'asse y con c = 2*√5 (≡ c^2 = a^2 + b^2 = 20), quindi
* (k - 3 + 4*k + 3 = 20) & (k > 3) ≡ k = 4
d) 3^2/(3 - k) + 2^2/(4*k + 3) = 1 ≡ (k = - 15/4) oppure (k = - 2)