Iperbole omografica

Question

Per quale valore di k l'iperbole y= frac {2 x+k}{2 x+6} passa per il punto P(1 ;- frac {3}{8})$ ? Quali sono le equazioni dei due asintoti? Determina l'equazione della tangente nel punto di intersezione dell'iperbole con l'asse y. Calcola l'area del triangolo individuato dalla tangente degli asintoti. Buongiorno vorrei un aiuto per un problema di geometria analitica che mio figlio (3 liceo scientifico. Sc.applicate) [attach]82379[/attach] non riesce a risolvere e ha un'interrogazione di recupero lunedì 3 giugno. L'esercizio è il  nr 357 .le prime domande le ha risolte, non riesce a determinare l'equazione della tangente.  Grazie a chi potrà aiutarlo.   [attach]82379[/attach]

exProf · Accepted Answer

Le prime domande risolteIl vincolo d'appartenenza, da cui trarre il richiesto valore di k, di P(1, - 3/8) a un'iperbole del fascio* Γ(k) ≡ y = (2*x + k)/(2*x + 6)è* - 3/8 = (2*1 + k)/(2*1 + 6) ≡ k = - 5da cui* Γ ≡ Γ(- 5) ≡ y = (2*x - 5)/(2*x + 6) ≡ 2*x*y - 2*x + 6*y + 5 = 0con centro C(- 3, 1) e, ovviamente, asintoti x = - 3 oppure y = 1.Determinare l'equazione della tangentePer x = 0, Γ interseca l'asse y in T(0, - 5/6): punto di tangenza della retta t richiesta che si scrive applicando alla forma normale canonica della conica* Γ ≡ 2*x*y - 2*x + 6*y + 5 = 0le sostituzioni di sdoppiamento* x^2 → u*x* y^2 → v*y* x*y → (v*x + u*y)/2* x → (u + x)/2* y → (v + y)/2dove (u, v) = (0, - 5/6), ottenendo* t ≡ 2*(v*x + u*y)/2 - 2*(u + x)/2 + 6*(v + y)/2 + 5 = 0 ≡≡ y = ((1 - v)*x - 3*v + u - 5)/(u + 3) ≡≡ y = ((1 - (- 5/6))*x - 3*(- 5/6) + 0 - 5)/(0 + 3) ≡≡ y = (11*x - 15)/18Il triangolo formato dalla tangente e dagli asintotiha vertici* (y = (11*x - 15)/18) & (x = - 3) ≡ A(- 3, - 8/3)* (y = (11*x - 15)/18) & (y = 1) ≡ B(3, 1)* C(- 3, 1)da cui la base* b = |BC| = |xC - xB| = 6l'altezza* h = |yC - yA| = 11/3e l'area richiesta* S(ABC) = b*h/2 = 6*(11/3)/2 = 11

[Risolto] Iperbole omografica

Domande