Un quadrato con i lati paralleli agli assi cartesiani hai vertici sull'iperbole di equazione $2 x^2-y^2=9$; determina i vertici del quadrato. Esiste un quadrato con i latl parallell agll assi cartesiani, i cul vertici appartengono all'iperbole di equazione $x^2-2 y^2=9$ ?
(Suggerimento: i vertici del quadrato sono i punti di intersezione dell'iperbole con le rette di equazione...)
$$
[(3,3),(-3,3),(-3,-3),(3,-3) \text {; по }]
$$
3366
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Livello 2
Problema
Ogni iperbole Γ riferita ai suoi assi, con i fuochi sull'asse x e semiassi (a, b) positivi, ha equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
ed eventuali intersezioni con le bisettrici dei quadranti in simmetria quadrantale.
Limitandosi, data la simmetria, al primo quadrante si ha
* (y = x) & ((x/a)^2 - (y/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) & (x > 0) ≡
≡ (x = y = a*b/√(b^2 - a^2)) & (b > a > 0)
vale a dire che i vertici del quadrato richiesto
* V(± a*b/√(b^2 - a^2), ± a*b/√(b^2 - a^2))
sono reali se e solo se
* b > a > 0
Nel caso in esame
Per
* Γ1 ≡ 2*x^2 - y^2 = 9 ≡ (x/(3/√2))^2 - (y/3)^2 = 1
si ha
* b = 3 > a = 3/√2 > 0
* V(± (3/√2)*3/√(3^2 - (3/√2)^2), ± (3/√2)*3/√(3^2 - (3/√2)^2)) = (± 3, ± 3)
Per
* Γ2 ≡ x^2 - 2*y^2 = 9 ≡ (x/3)^2 - (y/(3/√2))^2 = 1
si ha
* a = 3 > b = 3/√2
e quindi non ci sono vertici reali.
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Genius I
{2·x^2 - y^2 = 9
{y = x
risolvo: [x = 3 ∧ y = 3, x = -3 ∧ y = -3]
{2·x^2 - y^2 = 9
{y = -x
risolvo: [x = 3 ∧ y = -3, x = -3 ∧ y = 3]
---------------------------------
{x^2 - 2·y^2 = 9
{y = x
Sistema impossibile nell'ambito dei numeri reali.
94774
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Genius II
