[Risolto] iperbole e altre coniche

Ho preso nota del primo avviso di "errata corrige", ma ne serve un secondo: una coppia di parallele ("y= +-2") come asintoti vuol dire o parabola degenere o curva razionale di grado pari superiore a due; mi pare ovvio interpretare come "y = ± 2*x".
------------------------------
La forma normale standard delle coniche a centro non degeneri centrate nell'origine è
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove i parametri (a, b) sono i valori positivi delle lunghezze dei semiassi, e da essi si deduce la lunghezza della semidistanza focale c.
---------------
Per l'ellisse
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1
si ha
* c = √((max(a, b))^2 - (min(a, b))^2)
---------------
Per l'iperbole con asse focale x
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1
e per quella con asse focale y
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1
si ha
* c = √(a^2 + b^2)
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
---------------
L'ellisse "gamma"
* γ ≡ x^2 + 6*y^2 = 6 ≡ (x/√6)^2 + (y/1)^2 = 1
avendo a > b ha i fuochi sull'asse x: F(± c, 0) dove c = √(6 - 1) = √5.
---------------
La richiesta iperbole "Gamma" deve avere
* fuochi F(± √5, 0) sull'asse x
* c = √(a^2 + b^2) = √5
* asintoti y = ± (b/a)*x = ± 2*x ≡ b = 2*a
cioè
* (0 < a < b < √5) & (b = 2*a) & (√(a^2 + b^2) = √5) ≡
≡ (a = 1) & (b = 2)
da cui
* Γ ≡ (x/1)^2 - (y/2)^2 = 1
---------------
Le eventuali intersezioni S fra le curve sono le soluzioni reali, se esistono, del sistema fra le loro equazioni
* γ & Γ ≡ ((x/√6)^2 + (y/1)^2 = 1) & ((x/1)^2 - (y/2)^2 = 1) ≡
≡ S(± √(6/5), ± 2/√5)
che è proprio il risultato atteso, ma in forma priva di equivoci.
NOTA FORMALE
Gli operatori non infissi (e, a volte, anche quelli) ESIGONO che l'argomento sia delimitato fra parentesi di un qualche genere; "radice", per quanto scorrettissimo, è un operatore prefisso quindi fonte d'equivoci senza parentesi.
La stringa "radiceU/V", potendo lecitamente essere interpretata come due diverse espressioni algebriche ("radice(U)/V" o "radice(U/V)"), NON E' UN'ESPRESSIONE ALGEBRICA.

x^2+y^2=6

Non è un'ellisse ma una circonferenza. Quindi: x^2 + 6·y^2 = 6

@giorgio_melone

Ciao di nuovo. Prima di postare un esercizio sei pregato di rileggere il testo da inviare. 

Asintoti:y= +-2 *x ( relativamente a iperbole)

x^2 + 6·y^2 = 6-----> x^2/6 + y^2 = 1

a^2 = 6 e b^2 = 1

a^2 > b^2 fuochi su asse delle x

c^2 = a^2 - b^2----> c^2 = 6 - 1----> c = - √5 ∨ c = √5

F1( - √5,0)   ed F2(√5,0)

Per l'iperbole con gli stessi fuochi quindi del tipo: x^2/a^2-y^2/b^2=1abbiamo

{a^2 + b^2 = 5   (si ha c^2=5)

{b^2/a^2 = 4  (dall'informazione degli asintoti y=± b/a·x = ± 2·x)

quindi: a^2 = 1 e b^2=4-------> x^2-y^2/4=1 equazione iperbole

poniamo poi: x^2 = α e y^2 = β

{α/6 + β = 1     

{α - β/4 = 1

risolvi ed ottieni: [α = 6/5 ∧ β = 4/5] 

x^2 = 6/5----> x = - √30/5 ∨ x = √30/5

y^2 = 4/5-----> y = - 2·√5/5 ∨ y = 2·√5/5

Quindi 4 punti di intersezione:

[- √30/5, - 2·√5/5]

[- √30/5, 2·√5/5]

[√30/5, - 2·√5/5]

[√30/5, 2·√5/5]