[Risolto] IPERBOLE CON PARAMETRI

Problema:

Determina per quali valori di k l'equazione $kx^2-(k^2-1)y^2=1$ rappresenta:

(i) un’iperbole;

(ii) un’iperbole con i fuochi sull’asse x;

(iii) un'iperbole con i fuochi sull’asse y;

(iiii) un’iperbole che ha un vertice in $V(\frac{1}{2};0)$ ;

(v) un’iperbole con i fuochi sull’asse x che ha eccentricità uguale a $\sqrt{\frac{5}{3}}$ ;

(vi) un’iperbole avente determinati asintoti

Soluzione:

(i) Per ricondursi alla forma generica dell'equazione dell'iperbole  $χ: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$ è opportuno riscrivere l'equazione data come $\frac{x^2}{{\sqrt{\frac{1}{k}}^2}} - \frac{y^2}{\sqrt{\frac{1}{k^2-1}}^2} =1$ , per non ottenere un'ellisse i valori di a² e b² debbono essere di segno discorde ed entrambi debbono essere diversi da zero, nel caso in questione è necessario impostare il sistema

$\sqrt{\frac{1}{k}}^2>0$

$\sqrt{\frac{1}{k^2-1}}^2>0$

ossia

$\frac{1}{k}>0$ 

$\frac{1}{k^2-1}>0$

$k>0$

$k<-1$U$k>1$

che risulta dunque in $k>1$

Per questa tipologia di esercizio è dunque necessario tenere a mente l'equazione della conica in questione e riscrivere i coefficienti al denominatore come reciproci studiandone poi successivamente i segni.

(ii) L'iperbole con i fuochi sull'asse x ha equazione $χ: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ e dunque risulta essere quella che presenta i valori di k descritti nel punto (i)

(iii) L'iperbole con i fuochi sull'asse y è descritta dall'equazione $χ: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= -1$, riprendendo ciò detto nel punto (i) è necessario che i valori dei denominatori abbiano segno discorde poiché quando si moltiplica per $-1$ per ricondursi all'equazione generale il secondo membro dell'equazione presenta segno negativo. È necessario impostare il sistema

$\sqrt{\frac{1}{k}}^2<0$

$\sqrt\frac{1}{k^2-1}^2<0$

(iiii) Poiché il vertice V è posizionato sull'asse delle ascisse è opportuno utilizzare l'equazione che presenta il valore positivo al secondo membro e sostituire i valori di V nell'equazione.

Per risolvere questa tipologia di esercizio è necessario identificare l'equazione necessaria in base ai dati forniti e procedere per sostituzione ricavando k.

(v) L'eccentricità dell'iperbole è descritta dall'equivalenza $e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$, con $e>1$.

Per trovare i valori di k bisogna impostare l'equivalenza $e=\sqrt{\frac{5}{3}}$ e sostituire con i valori di a e b indicati nel punto (i).

(vi) Gli asintoti di una iperbole sono definiti dall'equazione $y=\pm \frac{b}{a}x$, bisogna procedere come nel punto (v).

k·x^2 - (k^2 - 1)·y^2 = 1

Se i fuochi stanno sull'asse delle x deve essere verificato il sistema;

{k > 0

{k^2 - 1 > 0

quindi soluzione: [k > 1]

Se i fuochi stanno sull'asse delle y deve essere verificato il sistema:

{k < 0

{k^2 - 1 < 0

quindi soluzione: [-1 < k < 0]

L'unione di queste due possibilità mi dà la sicurezza di avere un'iperbole. Quindi:

[k > 1] ∨ [-1 < k < 0] = [-1 < k < 0 ∨ k > 1]

(qualcosa mi dice che avevo già risposto a tale domanda...)

Vertice V [1/2, 0]

k·(1/2)^2 - (k^2 - 1)·0^2 = 1---> k/4 = 1

quindi: k = 4

Un’iperbole con i fuochi sull’asse x che ha eccentricità uguale a  e =√(5/3)

Dovrà risultare k >1...

Riscrivo l'iperbole nel seguente modo:

x^2/α - y^2/β = 1

Quindi;

γ = c^2 = α + β = 1/k + 1/(k^2 - 1)

ε = γ/α = (1/k + 1/(k^2 - 1))/(1/k) = 5/3

ε = γ/α = (k^2 + k - 1)/(k^2 - 1) = 5/3

(k^2 + k - 1)/(k^2 - 1) = 5/3

risolvo: k = - 1/2 ∨ k = 2

in grassetto la soluzione accettabile quindi:

2·x^2 - (2^2 - 1)·y^2 = 1

2·x^2 - 3·y^2 = 1

(che puoi verificare con Wolframalpha)

Per l'ultimo punto devi dirmi l'equazione degli asintoti

Comunque sono del parere di avere già risolto questo problema....

Ciao @alby

Comincio dal fondo.
"il seguente esercizio" non c'è; ce n'è uno precedente, va bene lo stesso?
Fra i diversi modi di svolgere un esercizio, in sede di esame e/o d'interrogazione, conviene adottare quello che rende minima la probabilità di commettere errori dovuti alla pressione psicologica della situazione (fifa da esame); cioè dalle definizioni ai risultati richiesti procedendo in modo pedissequo senza prendere scorciatoie né adottare trucchetti.
L'equazione del fascio presentata nell'esercizio precedente
* "kx^2-(k^2-1)y^2=1"
richiede di rammentare (o ripescare da libro) le definizioni relative a «Coniche a centro non degeneri riferite ai propri assi» e concentrarsi su quelle relative alle iperboli.
Definizioni
1) Equazione generale: (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1, con semiassi (a > 0) & (b > 0)
2) Distinzione di casi
2a) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole con fuochi sull'asse y
2b) (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1: iperbole con fuochi sull'asse x
2c) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse complessa
2d) (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1: ellisse reale
Per l'esercizio precedente si trascura lo sviluppo dei casi 2c e 2d.
3) Vertici reali
3a) 2a: V(0, ± b)
3b) 2b: V(± a, 0)
4) Semidistanza focale: c = √(a^2 + b^2)
5) Eccentricità
5a) 2a: e = c/b = √((a/b)^2 + 1)
5b) 2b: e = c/a = √(1 + (b/a)^2)
6) Asintoti: y = ± (b/a)*x
Esercizio
L'equazione del fascio
* "kx^2-(k^2-1)y^2=1"
ha la forma
* U*x^2 - V*y^2 = 1
con
* U = k = 1/a^2
* V = (k^2 - 1) = 1/b^2
quindi
a) è un'iperbole se U e v sono concordi: U*V > 0 ≡
≡ k*(k^2 - 1) > 0 ≡ (- 1 < k < 0) oppure (k > 1)
b) è un'iperbole con i fuochi sull'asse x se (U > 0) & (V > 0) ≡
≡ (k > 0) & (k^2 - 1 > 0) ≡ k > 1
c) è un'iperbole con i fuochi sull'asse y se (U < 0) & (V < 0) ≡
≡ (k < 0) & (k^2 - 1 < 0) ≡ - 1 < k < 0
d) è un'iperbole con un vertice in V(1/2, 0) se ha fuochi sull'asse x e a = 1/√k = 1/2 ≡
≡ (k > 1) & (1/√k = 1/2) ≡ k = 4
e) è un'iperbole con i fuochi sull'asse x (k > 1) & eccentricità e = √(1 + (b/a)^2) = √(5/3) ≡
≡ (k > 1) & (√(1 + (b/a)^2) = √(5/3)) ≡
≡ (k > 1) & (√(1 + U/V) = √(5/3)) ≡
≡ (k > 1) & (√(1 + k/(k^2 - 1)) = √(5/3)) ≡ k = 2
f) è un'iperbole con asintoti y = ± m*x ≡
≡ (m = b/a = √(k/(k^2 - 1))) & ((- 1 < k < 0) oppure (k > 1)) ≡
≡ (m = √(k/(k^2 - 1))) & (- 1 < k < 0) oppure (m = √(k/(k^2 - 1))) & (k > 1) ≡
≡ ...