[Risolto] iperbole con due rette tangenti

L'iperbole con fuochi sull'asse x, di generica equazione (con semiassi a e b positivi) in forma normale standard
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
ha la forma normale canonica
* Γ ≡ (b*x)^2 - (a*y)^2 - (a*b)^2 = 0
e si chiede di determinare i semiassi (a, b) di modo che risulti tangente le rette
* r ≡ "y=-14x-24" ≡ y = - 2*(7*x + 12)
* s ≡ "-26x+11y=24" ≡ y = 2*(13*x + 12)/11
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Il sistema
* r & Γ ≡ (y = - 2*(7*x + 12)) & ((x/a)^2 - (y/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0)
ha risolvente
* (b*x)^2 - (a*(- 2*(7*x + 12)))^2 - (a*b)^2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, deve annullarsi
* Δ(a, b) = - 4*(196*a^2 - b^2 - 576)*(a*b)^2 = 0 →
→ (196*a^2 - b^2 - 576 = 0) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (b^2 = 196*a^2 - 576) & (a > 12/7)
da cui
* Γ ≡ (196*a^2 - 576)*(x^2 - a^2) - (a*y)^2 = 0
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Il sistema
* s & Γ ≡ (y = 2*(13*x + 12)/11) & ((196*a^2 - 576)*(x^2 - a^2) = (a*y)^2) & (a > 12/7)
ha risolvente
* ((2*√(49*a^2 - 144))*x)^2 - (a*(2*(13*x + 12)/11))^2 - (a*(2*√(49*a^2 - 144)))^2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, deve annullarsi
* Δ(a) = (368640*a^2/121)*(49*a^4 - 291*a^2 + 432) = 0
e, imponendo quest'ulteriore restrizione, si ha
* s & Γ ≡ (y = 2*(13*x + 12)/11) & ((196*a^2 - 576)*(x^2 - a^2) = (a*y)^2) & (49*a^4 - 291*a^2 + 432 = 0) & (a > 12/7) ≡
≡ (x = - 13/4) & (y = - 11/2) & (a = √3)
da cui
* a^2 = 3
* b^2 = 196*3 - 576 = 12
* Γ ≡ 12*x^2 - 3*y^2 - 3*12 = 0 ≡ 4*x^2 - y^2 = 12
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B4*x%5E2-y%5E2%3D12%2C%2826x-11*y--24%29*%2814x--y--24%29%3D0%5D