Non credo tu abbia problemi a determinare l'equazione dell'iperbole.
{radice (a²+b²) = 2
{4/a² + 9/b² = 1
Da cui: x² - y²/3 = 1
Detto P(x;y) con x, y>0 il generico punto del primo quadrante appartenente alla conica, la condizione richiesta equivale a
{xy= (3/4)*radice (7)
Mettendo a sistema la condizione richiesta con l'equazione dell'iperbole si ricava la soluzione accettabile:
P=[radice (7)/2;3/2]. Per simmetria si ricavano i restanti 3 vertici.
La circonferenza avente un diametro coincidente con il segmento congiungente i fuochi è x²+y²=4
x^2/α - y^2/β = 1 con α = a^2 e β = b^2
pongo γ = α + β con γ = 4 = (±c)^2 = c^2
quindi: α = 4 - β ∧ γ = 4
Impongo il passaggio dell'iperbole:
x^2/(4 - β) - y^2/β = 1
per [2, 3]:
2^2/(4 - β) - 3^2/β = 1
risolvo: β = -12 ∨ β = 3
Quindi: [α = 4 - 3 ∧ γ = 4]----> [α = 1 ∧ γ = 4]
x^2 - y^2/3 = 1