[Risolto] IPERBOLE

• Equazione dell'iperbole riferita ai propri asintoti

$ xy = k; \qquad \forall k \in \mathbb{R}$

• retta tangente 

$ y = 5x-10$

Essere tangente significa che l'intersezione retta/iperbole avviene in un solo punto. Questo si ottiene imponendo nullo il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado, nella variabile x, che si ottiene dalla soluzione del sistema retta/iperbole.

• Intersezione retta/iperbole

$\left\{\begin{aligned} y &= 5x-10 \\ xy &= k \end{aligned} \right. $

Sostituendo la retta nell'equazione dell'iperbole si ottiene l'equazione di secondo grado dipendenti da un parametro reale k.

$5x^2 - 10x -k = 0$ 

• • • Discriminate Δ = 20(k+5)
• imponiamo la tangenza. Δ = 0   ⇒ k = -5

L'equazione dell'iperbole è quindi

xy = -5

nota. dai dati precedenti si ricava che il punto di tangenza T ha coordinate T(1,-5)

Ogni iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha, con k reale, equazione
* Γ(k) ≡ x*y = k
che
* per k < 0 ha i rami nei quadranti pari
* per k = 0 degenera sugli assi coordinati
* per k > 0 ha i rami nei quadranti dispari
La retta
* t ≡ y = 5*x - 10
tange Γ se e solo se la risolvente
* x*(5*x - 10) - k = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x - k/5 = 0
ha discriminante nullo, cioè
* Δ(k) = 4*(k + 5)/5 = 0 ≡ k = - 5
da cui
* Γ(- 5) ≡ x*y = - 5
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D5*x-10%2Cx*y%3D-5%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D5*x-10%2Cx*y%3D-5%5Dx%3D-22to22%2Cy%3D-22to22