L'iperbole che ha per asintoti gli assi cartesiani ha equazione $xy = k$.
Imponiamo che sia tangente alla retta data mettendola a sistema con essa:
{$xy = k$
{$y = -2x+4$
sostituendo la $y$ nell'iperbole:
$ x(-2x+4) = k$
$ -2x^2 +4x -k = 0$
Poniamo la condizione di tangenza $\Delta = 0$:
$ \Delta = 16 -4(-2)(-k) = 0$
$ 16 - 8k = 0$
$ k = 2$
Per cui l'iperbole è: $xy = 2$.
I vertici hanno coordinate $V(\pm \sqrt{k}, \pm \sqrt{k})= (\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{2})$.
I fuochi hanno coordinate $F(\pm \sqrt{2k}, \pm \sqrt{2k})= (\pm 2, \pm 2)$.
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Il diametro della circonferenza misura:
$ d = FF_1 = \sqrt{(2+2)^2 + (2+2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
per cui il raggio è $r=2\sqrt{2}$
Il centro della circonferenza è il punto medio tra i fuochi, che è ovviamente l'origine $O(0,0)$, per cui la circonferenza ha equazione:
$ x^2 + y^2 = r^2$
$ x^2 + y^2 = 8$
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La bisettrice del II/IV quadrante ha equazione $y=-x$, per cui le rette ad essa parallele sono del tipo $y=-x+q$.
Quella passante per (-2, -3) avrà equazione:
$ -3 = 2+q$
$ q = -5$ da cui $y=-x-5$.
Chiediamo che la parabola $y=ax^2+bx+c$ passi per i fuochi tramite il sistema in cui sostituiamo (2,2) e (-2,-2) nell'equazione:
{$2 = 4a+2b+c$
{$-2 = 4a-2b+c$
sottraendo le due equazioni:
$ 4 = 0 + 4b + 0$
$ b = 1$
e risostituendo nella prima:
$ 2 = 4a +2 +c$
$ c = -4a$
Abbiamo ottenuto il fascio di parabole $ y = ax^2 +x -4a$.
Chiediamo che si tangente alla retta:
{$ y = ax^2 +x -4a$
{$y = -x-5$
Sostituendo la y:
$ -x-5 = ax^2 +x -4a$
$ ax^2 +2x -4a + 5 = 0$
E ponendo la condizione di tangenza:
$ \Delta = 4-4(a)(-4a+5)=0$
$ 4+16a^2 - 20a = 0$
$ a = 1 \vee a = 1/4$
da cui ricaviamo le due parabole:
$ y = x^2+x-4$ e $y = 1/4x^2 +x -1$
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Troviamo il punto T:
{$y=-2x+4$
{$xy=2$
sostituendo:
$ x(-2x+4) = 2$
$ -2x^2 +4x -2 = 0$
$ x =1$
da cui
$ y = -2x+4 = -2+4 = 2$
abbiamo T(1,2).
Calcoliamo inoltre P e Q prendendo una generica retta passante per l'origine:
{$xy=2$
{$y= mx$
da cui
$x(mx)=2$
$ mx^2 = 2$
$ x = \pm \sqrt{\frac{2}{m}}$
con $y = \pm m \sqrt{\frac{2}{m}}$
E dunque:
$P(\sqrt{\frac{2}{m}}, m\sqrt{\frac{2}{m}}$
$Q(-\sqrt{\frac{2}{m}}, -m\sqrt{\frac{2}{m}}$
La base del triangolo è:
$ PQ = \sqrt{(\sqrt{\frac{2}{m}}+\sqrt{\frac{2}{m}})^2 +(m\sqrt{\frac{2}{m}}+m\sqrt{\frac{2}{m}})^2} = \sqrt{\frac{8}{m} + 8m}$
L'altezza del triangolo è la distanza tra T(1,2) e la retta $y=mx$ ($mx-y = 0$ in forma esplicita):
$ h = \frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+1}}$
dunque l'area del triangolo è:
$ A= \frac{PQ \cdot h}{2} = \sqrt{\frac{8}{m} + 8m} \cdot \frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+1}} \cdot \frac{1}{2}$
Poniamo che l'area sia $\sqrt{2}$
$ \sqrt{\frac{8}{m} + 8m} \cdot \frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+1}} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$
Risistemo l'equazione facendo il mcm:
$\sqrt{\frac{8+8m^2}{m}} \cdot \frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+1}} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$
moltiplico le radici e metto in evidenza al numeratore:
$\sqrt{\frac{8(1+m^2)}{m(m^2+1)}} \cdot |m-2| \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$
da cui semplificando:
$\sqrt{\frac{8}{m}} \cdot |m-2| \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$
che riscrivo ancora come
$\sqrt{\frac{8}{m}} \cdot |m-2| = 2\sqrt{2}$
elevo al quadrato ambo i membri:
$\frac{8}{m}(m^2+4-4m) = 8$
$8m^2+32-32m = 8m$
$8m^2 -40m +32=0$
$m=1 \vee m=4$
per cui le rette sono
$ y=x$ o $y=4x$
Noemi
