[Risolto] IPERBOLE

Per brevità ometterò i vari calcoli.

L'iperbole è riferita agli assi e dunque ha equazione:

$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$

Possiamo dedurre che il segno del secondo membro è negativo dal fatto che il punto si trova al di sopra degli asintoti.

Ricaviamo il valore di $a$ e $b$ imponendo che gli asintoti abbiano coefficiente $2$ e sostituendo le coordinate nel punto nell'equazione generica:

{$\frac{b}{a} = 2$

{$\frac{1}{a^2} + \frac{8}{b^2} = -1$

Risolvendo il sistema si ricava che:

{$a=1$

{$b=2$ 

e dunque l'iperbole è $ x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$.

Per i fuochi calcoliamo:

$ c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5}$ 

da cui $F=(0, \pm \sqrt{5})$.

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Il centro della circonferenza è O(0,0) e il raggio misura $r=\sqrt{5}$ per cui ha equazione:

$ x^2 + y^2 = 5$

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Calcoliamo l'ordinata di P sostituendo l'ascissa nell'iperbole:

$ \frac{9}{16} - \frac{y^2}{4} = -1$

$ y = \pm \frac{5}{2}$

dato che il punto si trova nel secondo quadrante, scegliamo la soluzione positiva: $P(\frac{-3}{4}, frac{5}{2})$.

Usiamo la formula di sdoppiamento per ricavare l'equazione della tangente in P:

$ x x_P - \frac{y y_P}{4} = -1$

$ \frac{-3}{4} x - \frac{y (\frac{5}{2})}{4} = -1$

$ y = \frac{-6}{5} x + \frac{8}{5}$

La parabola avendo asse coincidente con l'asse x avrà equazione $x = ay^2 +c$.

Applichiamo la formula di sdoppiamento sulla parabola:

$ \frac{x+x_P}{2} = ay y_P + c$

$ \frac{x+\frac{-3}{4}}{2} = ay \frac{5}{2} + c$

$ x+\frac{-3}{4} = 5ay + 2c$

$ 4x -3 = 20ay + 8c$

$ 20ay = 4x -3-8c$

$ y = \frac{4x}{20a}+ \frac{-3-8c}{20a}$

e confrontando l'equazione trovata con la retta tangente t abbiamo che:

{$-\frac{6}{5} = \frac{4}{20a}$

{$\frac{8}{5} = \frac{-3-8c}{20a}$

da cui

{$a=\frac{-1}{6}$

{$c=\frac{7}{24}$

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Dai fuochi dell'ellisse possiamo ricavare che:

$ c = \sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{5}$

Un quadrato di lato $L=\frac{12}{\sqrt{13}}$ ha diagonale $D=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$ e dunque la metà della diagonale è 

$ D/2 = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$

Un punto che si trova sull'ellisse ed è vertice del quadrato, deve avere le due coordinate uguali e pari a questa distanza, per cui possiamo porre:

$Q=(\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}, \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}})$

e chiedere che l'ellisse passi da tale punto, insieme con la richiesta che $c=\sqrt{5}$:

{$\sqrt{b^2-a^2} = \sqrt{5}$

{$\frac{(\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}})^2}{a^2}+\frac{(\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}})^2}{b^2} = 1$

risolvendo

{$a=2$

{$b=3$

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Mettiamo a sistema ellisse e iperbole:

{$ x^2 - \frac{y^2}{4} = -1$

{$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

per ricavare le coordinate dei vertici del rettangolo:
{$y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$

{$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Nota per calcolare velocemente l'area del rettangolo, puoi moltiplicare per 4 l'area del rettangolo evidenziato in figura:

che ha per dimensioni proprio le coordinate del punto trovato:

$ A = 4xy = 4 \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{48}{5}$

Noemi