Considera l'iperbole $\gamma_1$ avente fuochi in $(0, \pm 2 \sqrt{3})$ e passante per $P(-2,4)$.
a. Scrivi l'equazione di $\gamma_1$.
b. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\gamma_2$ riferita ai propri assi e passante per $P$.
c. Scrivil'equazione della retla $r$ tangente " $\gamma_2$ nel punto $P$.
d. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\gamma_2$ riferita al propri asintoto e tangente alla retta $r$.
3366
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Livello 2
Ometto i calcoli per brevità.
Possiamo dedurre dalla posizione dei fuochi che l'iperbole ha equazione:
$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}{b^2}=-1$
Poniamo che $c=2\sqrt{3}$ e il passaggio per P:
{$\sqrt{a^2+b^2} = 2\sqrt{3}$
{$\frac{(-2)^2}{a^2}-{4^2}{b^2}=-1$
da cui
{$a=2$
{$b=2\sqrt{2}$
---
L'iperbole equilatera è del tipo
$x^2-y^2=-a^2$
dunque ponendo il passaggio per P:
$(-2)^2-(4)^2 = -a^2$
$ a^2 = 12$
e l'iperbole è:
$x^2-y^2=-12$
---
Tramite sdoppiamento in P:
$xx_P-yy_P=-12$
$-2x-4y=-12$
$x+2y=6$
---
L'iperbole ha equazione $xy=k$. Mettiamo a sistema con la retta tangente:
{$xy=k$
{$x=6-2y$
Sostituisco la x:
$(6-2y)y=k$
$ -2y^2 +6y -k = 0$
Pongo la condizione di tangenza:
$ \Delta = 36-4(-2)(-k)=0$
$36-8k=0$
$ k = 9/2$
da cui
$xy=9/2$
Noemi
9874
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Livello 5
