IPERBOLE

Question

Considera l'iperbole  gamma grafico della funzione f di equazione y= frac {a x-6}{x+b}.a. Determina a e b in modo che abbia come asintoti le rette di equazioni x=-3$ e y=2$.In corrispondenza dei valori di a e b trovati:b. traccia il grafico dell'iperbole, determinandone in particolare i punti di intersezione con gli assi cartesiani;c. scrivi l'equazione della tangente all'iperbole nel suo punto di intersezione con l'asse x;d. determina l'equazione dell'inversa della funzione f;e. determina l'equazione dell'iperbole  gamma ^{ prime } simmetrica di  gamma rispetto al suo asintoto orizzontale;f. determina l'equazione dell'iperbole  gamma ^{ prime  prime }, simmetrica di  gamma ^{ prime }, rispetto all'asse  gamma ;g. dette g e z le due funzioni aventi come grafici rispettivamente le iperboli  gamma ^{ prime } e  gamma ^{ prime  prime }, risolvi graficamente la disequazione g(x)  geq z(x)$. left [ right .$ a. a=2, b=3 ;$ b. $(0,-2),(3,0)$; c. y= frac {1}{3} x-1$;d. y= frac {3 x+6}{2-x}; c. y= frac {2 x+18}{x+3}; f. y= frac {18-2 x}{3-x};g.  left .-3<x  leq 0  vee x>3 right ]$ [attach]84791[/attach]

Gregorius · Accepted Answer

[attach]84895[/attach] [attach]84896[/attach] [attach]84897[/attach]

n_f · Answer

f(x)= frac {ax-6}{x+b} Imponiamo le equazioni degli asintoti: {$- frac {d}{c}=-3$ { frac {a}{c}=2$ che nel caso della nostra funzione è: {$-b=-3  rightarrow b=3$  {a=2$ Dunque abbiamo f(x)= frac {2x-6}{x+3}. --- Le intersezioni sono: {x=0$ {y= frac {2x-6}{x+3}  rightarrow y=-2$ e  {y=0$ {$0= frac {2x-6}{x+3}  rightarrow x=3$ [attach]84893[/attach] --- Troviamo la tangente in (3,0) mettendo a sistema iperbole e fascio di rette: {y= frac {2x-6}{x+3} {y=m(x-3)$ sostituendo: mx-3m= frac {2x-6}{x+3} da cui mx^2-3mx+3mx-9m = 2x-6$ $ mx^2 -2x -9m+6 =0$ Condizione di tangenza: $  Delta = 4-4(m)(-9m+6)=0$ $ 4+36m^2 -24m=0$ $ m= frac {1}{3} dunque y= frac {1}{3}x -1$ --- Cerchiamo l'inversa isolando la x: y= frac {2x-6}{x+3} $ xy+3y = 2x-6$ $ xy-2x = -3y-6$ $ x(y-2)=-3y-6$ x= frac {-3y-6}{y-2} sistemando i segni e rinominando: y= frac {3x+6}{-y+2} --- La simmetria rispetto alla retta y=2$ ha equazioni: {$ x=x'$ {y = 2k-y'  rightarrow 4-y'$ dunque sostituendo nell'iperbole: $4-y'= frac {2x'-6}{x'+3} y'=4- frac {2x'-6}{x'+3} y'= frac {4x'+12-2x'+6}{x'+3} y'= frac {2x'+18}{x'+3} rinominando: y= frac {2x+18}{x+3} --- La simmetria rispetto all'asse y ha equazioni: {x=-x'$ {y = y'$ sostituisco: y'= frac {-2x'+18}{-x'+3} rinomino e riordino y= frac {18-2x}{3-x} --- [attach]84894[/attach] Dal grafico: la funzione rossa (g) si trova sopra la blu (z) per $-3<x leq 0  vee x>3$

[Risolto] IPERBOLE

Domande