[Risolto] IPERBOLE

$y = \frac{kx+3}{x+k-2}$

Per avere un'iperbole equilatera dev'essere:

$ad \neq bc$

$ k(k-2) \neq 3$

$ k^2-2k -3 \neq 0$

$k\neq -1$ e $k\neq 3$

---

Cerchiamo le generatrici del fascio. Faccio il mcm e metto il k in evidenza:

$ xy + ky -2y = kx+3$

$ xy-2y-3 +k(y-x) = 0$

Metto a sistema le generatrici:

{$xy-2y-3=0$

{$y-x = 0$

Risolvendo:

{$x^2-2x-3=0$ \rightarrow $x=-1$ e $x=3$

{$y=x$

Otteniamo le soluzioni A(-1, -1) e B(3,3), che sono i punti base.

---

Chiediamo che l'asintoto sia $y=1$ ponendo $\frac{a}{c}=1$, da cui ricaviamo che $k=1$. L'iperbole è:

$y = \frac{x+3}{x-1}$

L'asintoto $x=4$ si ottiene ponendo $\frac{-d}{c}=4$:

$-(k-2)=4$

$ k = -2$

da cui l'iperbole

$y = \frac{-2x+3}{x-4}$

---

Le intersezioni sono ovviamente i punti base del fascio A e B.

---

La tangente a $\gamma_1$ in B è:

{$y = \frac{x+3}{x-1}$

{$y-3=m(x-3)$

Sostituendo:

$ mx-3m+3 = \frac{x+3}{x-1}$

mcm:

$mx^2-mx-3mx+3m+3x-3 = x+3$

$mx^2 +x(-4m+2)+3m-6 =0$

Condizione di tangenza:

$ \Delta = (-4m+2)^2-4m(3m-6)=0$

$ 16m^2-16m+4-12m^2+24m=0$

$ 4m^2 + 8m +4 = 0$

$m=-1$

da cui

$ y=-x+6$

S procede analogamente con l'altra iperbole e ricaviamo la seconda tangente

$y=5x-12$

---

Sia $y=a$ una rette parallela all'asse x che interseca le iperboli rispettivamente in:

{$y = \frac{x+3}{x-1}$

{$y = a$

risolvo

$a = \frac{x+3}{x-1}$

$ax-a = x+3$

$ ax-x = a+3$

$ x = \frac{a+3}{a-1}$

cioé $A(\frac{a+3}{a-1}, a)$

e l'altra iperbole

{$y = \frac{3-2x}{x-4}$

{$y = a$

risolvo

$a = \frac{3-2x}{x-4}$

$ ax-4a = 3-2x$

$ ax+2x = 4a+3$

$ x = \frac{4a+3}{a+2}$

cioè $B(\frac{4a+3}{a+2}, a)$

Pongo la distanza $AB = 9$:

$|x_A - x_B| = 9$

$|\frac{a+3}{a-1} - \frac{4a+3}{a+2}| = 9$

$| \frac{(a+3)(a+2)-(4a+3)(a-1)}{(a-1)(a+2)}| = 9$

$| \frac{a^2+2a+3a+6-4a^2+4a-3a+3}{(a-1)(a+2)}| = 9$

$| \frac{-3a^2+6a+9}{a^2+a-2}| = 9$

togliendo il valore assoluto:

$ \frac{-3a^2+6a+9}{a^2+a-2} = \pm 9$

Risolvo nei due casi:

+)

$-3a^2+6a+9 = 9a^2+9a-18$

$-12a^2-3a+27 = 0$

ottengo $a=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{8}$

-)

$-3a^2+6a+9 = -9a^2-9a+18$

$6a^2+15a-9 = 0$

ottengo $a=-3$ e $a=1/2$

Noemi