Iperbole

y = (a·x + b)/(c·x + d)

calcoli prima:

k = (b·c - a·d)/c^2

poi vedi il valore:

se k > 0

[- d/c ± √(2·k), a/c ± √(2·k)]

se k<0

[- d/c ± √(2·ABS(k)), a/c ± √(2·ABS(k))]

a breve aggiungo risoluzione:

questo approccio ti consente di trovare i fuochi senza memorizzare troppe formule, si ragiona trovando i fuochi dell'iperbole NON traslata (usando traslazione inversa), di cui si sanno trovare i fuochi, per poi traslare i fuochi per vedere come cambiano le loro coordinate. E' una sorta di composizione di due traslazioni. 

ps: ricorda che la f. omografica non è altro che una semplice iperbole equilatera riferita agli asintoti (del tipo xy=k), MA traslata secondo un vettore che ha come componenti x e y del nuovo centro di simmetria.

La funzione omografica di fuochi non ne ha, li ha l'iperbole che rappresenta.
"Come si determinano i fuochi dell'iperbole equilatera Γ rappresentata dalla funzione omografica f(x) = N(x)/D(x) = y = (x - 2)/(x - 1)?"
Si determinano come intersezioni fra la retta dell'asse trasverso con la circonferenza centrata nel centro C di Γ e con raggio la semidistanza focale c; i dati nominati si determinano a piccoli passi successivi senza memorizzare nemmeno una formula
* l'asintoto verticale x = 1 azzerando D(x)
* l'asintoto orizzontale y = 1 come limite all'infinito di f(x)
* il centro C(1, 1) come intersezione di essi
* le parallele y = x e y = 2 - x alle bisettrici dei quadranti, per il centro
* i punti comuni (vertici) fra tali parallele ed f(x)
** (y = x) & (y = (x - 2)/(x - 1)) ≡ nessuno → su y = x giace l'asse non trasverso
** (y = 2 - x) & (y = (x - 2)/(x - 1)) ≡ V1(0, 2) oppure V2(2, 0) → su y = 2 - x giace l'asse trasverso, quindi i fuochi
Tutto ciò occorre e basta per raccogliere le informazioni che consentono di localizzare i fuochi di Γ.
1) Γ è iperbole, quindi ha semiassi (a, b) e semidistanza focale c = √(a^2 + b^2)
2) Γ è equilatera, a = b, quindi c = b*√2
3) da 2*b = |V1V2| = 2*√2 si ha c = b*√2 = 2
quindi
* (y = 2 - x) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2) ≡ F1(1 - √2, 1 + √2) oppure F2(1 + √2, 1 - √2)
e così i fuochi si sono determinati senza dover rammentare nessuna formula risolutiva, ma solo usando le definizioni.