[Risolto] IPERBOLE

Considerazione
La semidistanza focale dell'iperbole è l'ipotenusa dei cateti semiassi: c^2 = a^2 + b^2.
L'iperbole γ1 ha vertici V(± √6, 0) e fuochi F(± 2*√2, 0), sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine, quindi equazione della forma
* γ1 ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
Quesito a
Dai dati, a = √6 e c = 2*√2, si ha (2*√2)^2 = (√6)^2 + b^2 ≡ b = √2; quindi
* γ1 ≡ (x/√6)^2 - (y/√2)^2 = 1
Quesito b
* (x/√6)^2 - (1/√2)^2 = 1 ≡ P(3, 1)
Quesito c
* (3/b)^2 - (1/b)^2 = 1 ≡ b = √8
* γ2 ≡ (x/√8)^2 - (y/√8)^2 = 1 ≡ x^2 - y^2 - 8 = 0
Quesito d
Per sdoppiamento si ha
* r ≡ x*3 - y*1 - 8 = 0 ≡ y = 3*x - 8
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*x-8%2Cx%5E2-y%5E2-8%3D0%5D
[y=3*x-8,x^2-y^2-8=0]
Quesito e
Il sistema fra r e la generica iperbole richiesta
* (y = 3*x - 8) & (x*y = k)
ha risolvente
* x*(3*x - 8) - k = 0 ≡ x^2 - 8*x/3 - k/3 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere nullo
* Δ(k) = (4/9)*(3*k + 16) = 0 ≡ k = - 16/3
da cui
* γ3 ≡ x*y = - 16/3
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*x-8%2Cx%5E2-y%5E2-8%3D0%2Cx*y%3D-16%2F3%5Dx%3D-44to44%2Cy%3D-44to44

EQUAZIONE IPERBOLE:

Coordinate del vertice (a,0)

Coordinate del fuoco (c,0)

B^2=c^2-a^2

E da qui sostituisci all' equazione generale dell' iperbole 

TROVARE IL PUNTO P

Y=1 E lo vai a sostituire all' equazione della iperbole che hai trovato 

IPERBOLE EQUILATERA

X^2-Y^2=A^2

Sostituisci i valori di x e y del punto p, ottieni a e la sostituisci all' equazione 

RETTA TANGENTE

Retta passante per un punto, rimane m incognito, metti a sistema con l' iperbole e trovi m che va sostituito alla retta passante per un punto