[Risolto] iperbole

Ogni iperbole della forma
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
è riferita ai suoi assi di simmetria ed ha fuochi e vertici sull'asse x.
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La condizione di passare per P(2*√2, 3) impone il vincolo
* (2*√2/a)^2 - (2/b)^2 = 1 ≡ a = √(8*b^2/(b^2 + 4))
da cui
* Γ(b) ≡ (x/√(8*b^2/(b^2 + 4)))^2 - (y/b)^2 = 1
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La condizione di tangere la retta
* t ≡ 4*x + y - 7 = 0 ≡ y = 7 - 4*x
impone il vincolo che s'annulli il discriminante della risolvente del sistema
* t & Γ(b) ≡ (y = 7 - 4*x) & ((x/√(8*b^2/(b^2 + 4)))^2 - (y/b)^2 = 1)
di risolvente
* (x/√(8*b^2/(b^2 + 4)))^2 - ((7 - 4*x)/b)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (b^2 - 124)*x^2 + 448*x - 8*(b^2 + 49) = 0
con
* Δ(b) = 32*(b^4 - 75*b^2 + 196)
da cui
* b^4 - 75*b^2 + 196 = 0 ≡
≡ u^2 - 75*u + 196 = 0 ≡
≡ (u = (75 - √4841)/2 ~= 2.7) oppure (u = (75 + √4841)/2 ~= 72.3) ≡
≡ (b^2 = (75 - √4841)/2 ~= 2.7) oppure (b^2 = (75 + √4841)/2 ~= 72.3)
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Da
* a^2 = 8*b^2/(b^2 + 4) = 8/(1 + 4/b^2)
si ha
≡ (a^2 = (173 - √4841)/32) oppure (a^2 = (173 + √4841)/32)
da cui due iperboli al posto di una.
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* Γ1 ≡ x^2/((173 - √4841)/32) - y^2/((75 - √4841)/2) = 1 ≡
≡ 16*(75 - √4841)*x^2 - (173 - √4841)*y^2 - 4*(2227 - 31*√4841) = 0
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* Γ2 ≡ x^2/((173 + √4841)/32) - y^2/((75 + √4841)/2) = 1 ≡
≡ 16*(75 + √4841)*x^2 - (173 + √4841)*y^2 - 4*(2227 + 31*√4841) = 0
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Verifiche
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1) passaggio per P(2*√2, 3) nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B16*%2875-%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173-%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227-31*%E2%88%9A4841%29%3D0%2C16*%2875--%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173--%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227--31*%E2%88%9A4841%29%3D0%5D
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2) tangenza con t ≡ y = 7 - 4*x nel paragrafo "Implicit plot" al link
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D7-4*x%2C16*%2875-%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173-%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227-31*%E2%88%9A4841%29%3D0%2C16*%2875--%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173--%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227--31*%E2%88%9A4841%29%3D0%5Dx%3D0to6%2Cy%3D-15to5
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3) ci sono effettivamente due iperboli ben distinte
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D7-4*x%2C16*%2875-%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173-%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227-31*%E2%88%9A4841%29%3D0%2C16*%2875--%E2%88%9A4841%29*x%5E2-%28173--%E2%88%9A4841%29*y%5E2-4*%282227--31*%E2%88%9A4841%29%3D0%5Dx%3D-22to22%2Cy%3D22to22

Riprova ma ponendo 1/a^2 = u e 1/b^2 = v e fammi sapere.