Data l'iperbole di equazione $x y=k$, con $k<0$ :
a. stabilisci per quale valore di $k$ l'iperbole stacca sulla retta di equazione $2 x-y-6=0$ una corda che misura $\sqrt{5}$;
b. rappresenta l'iperbole determinando le coordinate dei fuochi e dei vertici.
[a) $k=-4$; b) $F( \pm 2 \sqrt{2} ; \mp 2 \sqrt{2}), V( \pm 2 ; \mp 2)]$
Gentilmente potreste aiutarmi con questo esercizio?
8
punti
Livello 0
Data l'iperbole Γ di equazione x*y = k, con k < 0 ≡
≡ Γ ≡ x*y = - c^2, con (c != 0) & (k = - c^2)
la riscrivo di modo che sia semplice esprimere i punti richiesti nel quesito b
* vertici V(± c, ∓ c)
* fuochi F(± c*√2, ∓ c*√2)
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La retta secante
* s ≡ 2*x - y - 6 = 0 ≡ y = 2*(x - 3)
interseca Γ nelle soluzioni del sistema
* s & Γ ≡ (y = 2*(x - 3)) & (x*y = - c^2) ≡
≡ P((3 - √(9 - 2*c^2))/2 , - 3 - √(9 - 2*c^2))
oppure
≡ Q(3 + √(9 - 2*c^2))/2 , - 3 + √(9 - 2*c^2)
che devono distare √5
* |PQ| = √(5*(9 - 2*c^2)) = √5 ≡ c = ± 2
quindi
* k = - 4
≡ Γ ≡ x*y = - 4
* V(± 2, ∓ 2)
* F(± 2*√2, ∓ 2*√2)
56990
punti
Genius I
Coefficiente angolare della retta : m=2
Se la corda è lunga radice (5) la differenza tra le ascisse dei punti di intersezione retta - conica è 1 e la differenza tra le ordinate è 2
1²+2²=[radice (5)]²
Intersezione retta - iperbole:
{xy=k (k<0)
{y=2x-6
Quindi:
2x²-6x-k=0
x12= [3±radice (9+2k)]/2
Imponendo la condizione richiesta (x2-x1) = 1, si ricava:
9+2k=1
k= -4
Quindi la conica ha equazione
xy= - 4
:
76428
punti
Genius II
@stefanopescetto Grazie mille
Figurati. Buona giornata
