[Risolto] IPERBOLE

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

9/a^2 - 7/b^2 = 1

16/a^2 - 14/b^2 = 1

9u - 7v = 1

16u - 14v = 1

8u - 7v = 1/2

u = 1/2

v = (4 - 1/2)/7 = 1/2 = u

quindi

x^2/2 - y^2/2 = 1

fai il sistema con y - 7 = m(x - 1)

e imponi Delta = 0

x^2 - (7 + mx - m)^2 = 2

x^2 - (m^2 x^2 + m^2 + 49 + 14 mx - 2m^2 x - 14 m ) - 2 = 0

x^2(1 - m^2) + 2m^2 x - 14 mx - m^2 + 14m - 51 = 0

(1 - m^2) x^2 + 2(m^2 - 7m)x - (m^2 - 14m + 51) = 0

D/4 = (m^2 - 7m)^2 + (1 - m^2)(m^2 - 14m + 51) = 0

m^4 - 14m^3 + 49m^2 + m^2 - 14m + 51 - m^4 + 14m^3 - 51m^2 = 0

- m^2 - 14m + 51 = 0

m^2 + 14m - 51 = 0

m = 3 V m = -17

per cui la tangente é y - 7 = 3(x - 1) => y = 3x + 4

c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 2 = 4

c = 2

F = (2,0)

il punto T si ottiene da

(1 - 9)x^2 + 2(9 -21)x - (9-42+51) = 0

- 8x^2 - 24 x - 18 = 0

4x^2 + 12x + 9 = 0

(2x + 3) = 0

x = -3/2

y = 3*(-3/2) + 4 = -1/2

P = (1,7)

L'ultima parte potrei scriverla più tardi ma la sai fare

Calcoli i tre coefficienti angolari delle rette congiungenti e controlli che ce ne siano due

che hanno per prodotto -1.

Operativamente risulta

P (1,7)
F (2,0)
T (-3/2,-1/2)

nell'ordine

mPF = -7,

mFT = (-1/2)/(-3/2-2) = 1/2 : 7/2 = 1/7 ,

e abbiamo finito.

Imponendo le condizioni di appartenenza

{9/a² - 7/b² = 1

{16/a² - 14/b² = 1

Moltiplicando la prima equazione per 2 e sottraendo membro a membro otteniamo 

2/a² = 1

a²=2 => b²=2

x²-y²=2

V=(±radice 2 ; 0)

F= (±2 ; 0)

Se hai completato il punto 1) che difficoltà hai nello svolgimento del punto 2) ? 

Quindi F2=(2;0)

Applico le formule di sdoppiamento per determinare la polare 

x-7y=2

Mettendo a sistema la polare e l'equazione della conica ricavo le coordinate dei punti di tangenza e quindi di T

{x=7y+2

{x²-y²=2

24y²+14y+1=0

Da cui yP= - 1/2 => xP = 2 - 7/2 = - 3/2

T( - 3 /2; - 1/2)

0) La generica iperbole Γ con centro nell'origine e asse trasverso sull'asse delle ascisse è
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
con due soli parametri, i semiassi (a, b) positivi, che si determinano risolvendo il sistema dei due vincoli che realizzano le condizioni di passaggio
* ((3/a)^2 - (√7/b)^2 = 1) & ((4/a)^2 - (√14/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (a = √2) & (b = √2)
e da "a = b = √2" si verifica che Γ è equilatera, con equazione
* Γ ≡ (x/√2)^2 - (y/√2)^2 = 1 ≡
≡ x^2 - y^2 - 2 = 0
---------------
1) Dalla forma normale canonica dell'iperbole
* Γ ≡ x^2 - y^2 - 2 = 0
si calcola prima la retta p, polare di P(1, 7) rispetto Γ, per sdoppiamento
* Γ ≡ x*1 - y*7 - 2 = 0 ≡ y = (x - 2)/7
e poi, per intersezione con p, i punti T di tangenza di Γ
* (y = (x - 2)/7) & (x^2 - y^2 - 2 = 0) ≡ T1(- 3/2, - 1/2) oppure T2(17/12, - 1/12)
con le tangenti richieste, che si costruiscono come congiungenti PT
* PT1 ≡ y = 3*x + 4, di pendenza 3 > 0
* PT2 ≡ y = 24 - 17*x, di pendenza - 17 < 0
quindi
* t ≡ y = 3*x + 4
---------------
2) La semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = 2 determina i fuochi in (± 2, 0).
Il triangolo PFT di vertici P(1, 7), F(2, 0), T(- 3/2, - 1/2), risulta rettangolo in F se e solo se vale zero il prodotto scalare "FP.FT" fra i segmenti orientati dei potenziali cateti
* FP = P - F = (1, 7) - (2, 0) = (- 1, 7)
* FT = T - F = (- 3/2, - 1/2) - (2, 0) = (- 7/2, - 1/2)
* FP.FT = (- 1, 7).(- 7/2, - 1/2) = (- 1)*(- 7/2) + 7*(- 1/2) = 0
La verifica è andata a buon fine.