Trova per quale valore di a l'iperbole di equazione x^2-y^2=a^2 stacca sulla retta di equazione x-4y=0 una corda lunga 16 sqrt(17/15).
Il risultato è a=+-8
Trova per quale valore di a l'iperbole di equazione x^2-y^2=a^2 stacca sulla retta di equazione x-4y=0 una corda lunga 16 sqrt(17/15).
Il risultato è a=+-8
{x^2 - y^2 = a^2
{x - 4·y = 0
Risolvo:
[x = 4·√15·a/15 ∧ y = √15·a/15, x = - 4·√15·a/15 ∧ y = - √15·a/15]
Quindi calcolo distanza fra i due punti trovati:
√((4·√15·a/15 + 4·√15·a/15)^2 + (√15·a/15 + √15·a/15)^2)=
=√((8·√15·a/15)^2 + (2·√15·a/15)^2)=
=√(64·a^2/15 + 4·a^2/15) =
=√(68·a^2/15)
Impongo che sia:
√(68·a^2/15) = 16·√(17/15)
risolvo ed ottengo:
a = -8 ∨ a = 8
La retta secante
* s ≡ x - 4*y = 0 ≡ y = x/4
passa per l'origine con pendenza m = 1/4.
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Il fascio di parametro reale "a"
* Γ(a) ≡ x^2 - y^2 = a^2
genera solo iperboli equilatere riferite ai proprii assi con vertici V(± a, 0) e asintoti le bisettrici dei quadranti, di pendenze ± 1: s, con pendenza m = 1/4, cade negli angoli con le Γ(a).
Per a = 0, Γ(0) degenera sugli asintoti; Per a^2 > 0, Γ(a) interseca s su entrambi i rami nei punti soluzione di
* s & Γ(a) ≡ (y = x/4) & (x^2 - y^2 = a^2) & (a^2 > 0) ≡
≡ A(- 4*a/√15, - a/√15) oppure B(4*a/√15, a/√15)
distanti fra loro
* |AB| = d(a) = (2*√(17/15))*|a|
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* d(a) = (2*√(17/15))*|a| = 16*√(17/15) ≡
≡ 2*|a| = 16 ≡
≡ |a| = 8 ≡ a = ± 8
Vista la simmetria del problema
O=origine assi (0;0)
P= intersezione tra iperbole e retta nel primo quadrante (k;k/4)
Dall'appartenenza di P alla conica:
a²=(15/16)*k²
Imponendo la condizione richiesta si ricava
k²/16= 64/15
k²=(64/15)*16
Per sostituzione
a²=64