[Risolto] Iperbole

Portando l'equazione dell'iperbole Γ, data in forma normale canonica, alla forma normale standard se ne ricavano le proprietà geometriche che consentono di rappresentarla graficamente.
* Γ ≡ 9*x^2 - y^2 + 9 = 0 ≡
≡ 9*x^2 - y^2 = - 9 ≡
≡ 9*x^2/(- 9) - y^2/(- 9) = 1 ≡
≡ - x^2 + y^2/9 = 1 ≡
≡ (x/1)^2 - (y/3)^2 = - 1
da cui si rileva/calcola
* centro nell'origine
* assi di simmetria sugli assi coordinati
* fuochi sull'asse y (termine noto = - 1 < 0)
* semiassi (a, b) = (1, 3)
* semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = √10 ~= 3.16
* vertici V(0, ± 3)
* fuochi F(0, ± √10)
* asintoti y = ± (- b/a)*x ≡ y = ± 3*x
dati da cui si può costruire il grafico.
Nel prossimo paragrafo ti mostro quello con le tangenti, così puoi controllare.
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Nella polarità indotta da Γ sul piano Oxy la retta "p", polare del polo A(- 1, 3/5), si ricava per sdoppiamento sulla forma normale canonica di Γ
* p ≡ 9*x*(- 1) - y*(3/5) + 9 = 0 ≡ y = 15*(1 - x)
e interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti richieste
* p & Γ ≡ (y = 15*(1 - x)) & ((x/1)^2 - (y/3)^2 = - 1) ≡
≡ C(3/4, 15/4) oppure B(4/3, - 5)
così nominati in osservanza dell'inusuale specificazione «(x_{B} > x_{c})».
Le tangenti sono le congiungenti
* AB ≡ y = - (3/5)*(4*x + 3)
* AC ≡ y = + (3/5)*(3*x + 4)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F1%29%5E2-%28y%2F3%29%5E2%3D-1%2Cy%3D-%283%2F5%29*%284*x--3%29%2Cy%3D%283%2F5%29*%283*x--4%29%5D
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L'area S del triangolo di vertici A(- 1, 3/5), B(4/3, - 5), C(3/4, 15/4) si calcola con la formula dell'area di Gauss
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
e vale
* S(ABC) = 343/40
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La ricerca di P(u, v) con (u < 3/4) & (v > 0), quindi sul ramo di Γ nel semipiano y > 0
* Γ+ ≡ y = 3*√(x^2 + 1)
tale da distare |PH| = 12/√226 dalla sua proiezione H sulla retta polare BC ≡ p ≡ y = 15*(1 - x) consiste nel calcolare le intersezioni di Γ+ con la retta del fascio
* p(k) ≡ y = 15*(k - x)
distante 12/√226 da p.
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* |pp(k)| = (15/√226)*|k - 1| = 12/√226 ≡ (k = 1/5) oppure (k = 9/5)
da cui
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A) p(1/5) ≡ y = 15*(1/5 - x)
* (y = 15*(1/5 - x)) & (y = 3*√(x^2 + 1)) & (x < 3/4) & (y > 0) ≡ P(0, 3)
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B) p(9/5) ≡ y = 15*(9/5 - x)
* (y = 15*(9/5 - x)) & (y = 3*√(x^2 + 1)) & (x < 3/4) & (y > 0) ≡ impossibile
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E QUINDI USCIMMO A RIVEDER LE STELLE