Con l'iperbole di equazione: x^2/16 - y^2/16 =1, determina per quali valori di (m) la retta passante per A(0,2), di coefficiente angolare m, interseca l'iperbole in un solo punto.
n.b.: Come trovo le 2 rette e quindi i due valori di m?
Con l'iperbole di equazione: x^2/16 - y^2/16 =1, determina per quali valori di (m) la retta passante per A(0,2), di coefficiente angolare m, interseca l'iperbole in un solo punto.
n.b.: Come trovo le 2 rette e quindi i due valori di m?
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punti
Livello 2
Studiamo i punti di intersezione con l'iperbole risolvendo il sistema fascio/iperbole.
$ \left\{\begin{aligned} y &= mx + 2 \\ x^2 - y^2 &= 16 \end{aligned} \right. $
Sostituendo la prima nella secondo si ottiene
$(1-m^2)x^2 - 4mx - 20 = 0$
Equazione di 2° grado.
Prima di applicare la formula risolutiva occorre fare un distinguo. La formula è applicabile se il coefficiente del termine x^2 è diverso da zero. Nel caso sia nullo
.
a. m = ±1
La retta y = x + 2 intersecherà l'iperbole nel solo punto P(-5, -3).
La retta y = -x + 2 intersecherà l'iperbole nel solo punto Q(5, -3).
.
b. m ≠ ±1
possiamo applicare la formula risolutiva dalla quale ricaviamo
$x = \frac{-m \pm\sqrt{5-4m^2}}{m^2-1} $
Avremo un singolo punto (di tangenza) se e solo se il discriminante risulti nullo
Δ = 0
ovvero
$ 5-4m^2 = 0$
$ m = \pm \frac {\sqrt{5}}{2} $
a cui corrispondono le due rette tangenti
$⊳ y = \frac {\sqrt{5}}{2}x + 2$
$⊳ y = -\frac {\sqrt{5}}{2}x + 2$
6011
punti
Livello 2
@cmc Esposizione chiara, lineare, precisa e graficamente apprezzabile. Complimenti!