Intrgrale

Problema:

Considera una corrente alternata di intensità $i(t)=I_M \sin ωt$.

(i) Determina il periodo $T$ della funzione $i(t)$;

(ii) Calcola l'intensità efficace $i_e$, della corrente alternata, ricordando che $i_e^2$ è il valore medio della funzione $i²(t)$ sull'intervallo $[0,T]$.

Soluzione:

(i) Il periodo di una funzione goniometrica periodica è per definizione $T=\frac{T_f}{a}$ dove $T_f$ rappresenta il periodo della funzione goniometrica standard considerata e $a$ rappresenta il numero d'onda angolare. Dato che il numero d'onda angolare di $\sin ωt$ vale ω e il periodo della funzione seno vale $2π$, si ha $T=\frac{2π}{ω}$.

(ii) Per il Teorema della Media Integrale, il valore medio è dato da $f(c)(b-a)=\int_a^b f(x) dx$; si ha dunque $i_e^2(T-0)=\int_0^T I_M² \sin² ωx dx=I_M² \int_0^T \sin² ωx dx=I_M² [\frac{x}{2}-\frac{\sin 2ωx}{4ω}]_0^T=I_M²(\frac{T}{2}-\frac{\sin 2ωT}{4ω})$

Sostituendo $T=\frac{2π}{ω}$, si ottiene:

$i_e^2T=I_M²(\frac{T}{2}-\frac{\sin 2ωT}{4ω}) \rightarrow i_e^2=I_M² \frac{1}{2}-\frac{\sin 4π}{8π}=I_M²\frac{4π-0}{8π}=I_M²\frac{1}{2}$

Ossia

$i_e=\sqrt{I_M²\frac{1}{2}}=I_M \frac{√2}{2}$.