[Risolto] Interruttore aperto e chiuso

Quando l'interruttore è aperto, l'unica maglia è quella di sinistra in cui abbiamo (scelgo come verso di percorrenza quello orario):

$ +6 V - 9 V - 4\Omega I - 2\Omega I = 0$

$ -6 \Omega I = -3 V$

$ I = 0.5 A$ 

con la corrente che circola in senso orario.

Quando l'interruttore è chiuso dobbiamo considerare entrambe le maglie in cui avremo le due correnti indipendenti $I_1$ e $I_2$. Scriviamo un'equazione per ogni maglia, considerando come verso di percorrenza quello orario:

{$+6 V - 9 V -4\Omega (I_1 - I_2) -2 \Omega I_1 = 0$

{$+9 V -5 \Omega I_2 -4 (I_2 - I_1) = 0$

riordiniamo le equazioni sommando i termini simili (ometto le unità di misura per comodità di scrittura):

{$-6 I_1 +4 I_2 = 3 $

{$4I_1 -9 I_2 = -9$

Risolvendo:

{$I_1 = 0.24 A$

{$I_2 = 1.11 A$

Attenzione! Queste sono le correnti che circolano nelle maglie, non nelle batterie.

Nella batteria da 6 V circola la $I_1 = 0.24 A$.

Nella batteria da 9 V circolano entrambe le correnti: $I_2-I_1 = 0.87 A$

Noemi 

int. aperto

il circuito si riduce a m1

i2 = -i1 = i {il testo sbaglia!}

-E1 + E2 = R2 *i2 - R1*i1 ---> -E1 + E2 = R2 *i + R1*i --> 3 =6*i ---> i = 0.5 A

in E2 i va verso l'alto , ma in E1 {che quindi è fcem}va verso il basso!

int. chiuso

le maglie sono due indip. {l =3 , n= 2 ---> maglie l-(n-1) = 2}

nodo i1 +i2 = i3    ---> x + y = z

m1  E2 -E1 = R2 *i2 - R1*i1   ---> 3 = 4*y - 2*x

m2  E2 = R2*i2 + R3*i3     --->  9 = 4*y + 5* z

che risolto dà:

i1 = x = 9/38 A,i2 = y = 33/38 A, i3 = z = 21/19 A

i1 = x≈0.23684 A, i2 = y≈0.86842 A, i3 = z≈1.1053 A

verifica con Millman

Vab = (E1/R1 + E2/R2 + 0/R3)/ (1/R1 + 1/R2 + 1/R3) = (6/2 + 9/4 + 0/5)/(1/2 +1/4 + 1/5) = 105/19 V

-i1 = (Vab -E1)/R1 = (105/19 - 6)/2 = - 9/38 A     i1 =≈0.23684 A

-i2 = (Vab -E2)/R2 = (105/19 - 9)/4 = - 33/38 A   --->  i2 = ≈0.86842 A 

i3 = Vab/R3 = (105/19)/5 = 21/19 A     --->   i3 =≈1.1053 A

ok

Con interruttore chiuso 

I1 = 1,421-1,184 = 0,237 A 

I2 = 1,658-0,789 = 0,868 A 

I3 = I1+I2 = 1,105 A

Con interruttore aperto 

I1 = I2 = (9-6)/(2+4) = 0,50 A