Interpretazione di grafici, con parametri.

a.  

$y(x)=ax+b+\frac{c}{x}$

• Dominio = ℝ\{0}

La funzione y(x) è del tipo razionale fratta quindi continua e derivabile laddove definita.

• Equazione dell'asintoto. A vista deduciamo che è parallela alla bisettrice del 2°-4° quadrante con intercetta q = +1. L' equazione della retta è y = -x + 1; ovvero m = -1 e q = +1.

Imponiamo le due condizioni.

1.

$m={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y(x)}{x}=-1}$

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}=-1}$

$a=-1$

La funzione si presenta come $y(x)=-x+b+\frac{c}{x}$

2. 

$q={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y(x)-mx=}$

$q={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}-x+b+\frac{c}{x}+x=}$

$q={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}b+\frac{c}{x}=1}$

$b=1$

La funzione si presenta come $y(x)=-x+1+\frac{c}{x}$

Ω. Come ultima condizione imponiamo la presenza di estremanti in x = ±2

Annulliamo la derivata prima

$y^{\prime }(x)=-1-\frac{c}{x^2}=0$

$-\frac{x^2+c}{x^2}=0$

è imponiamo  che valga per x = ±2

$c=-4$

La funzione y(x) è definita dall'equazione

$y=-x+1-\frac{4}{x}$

b.

Valutiamo i valori del minimo e del massimo relativi.

• min f(x) = f(-2) = 5
• max f(x) = f(2) = -3

inoltre

• ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=+\mathrm{\infty }}$
• ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=-\mathrm{\infty }}$ 

Per il teorema della valori intermedi (IVT) possiamo concludere che 

Imm y(x) = (-∞, -3) U (5, +∞)