Nella figura qui a fianco è rappresentato il grafico di una funzione pari di equazione $y=f(x)$; ivi sono rappresentati gli asintoti (tratteggiati in nero), con le relative equazioni, e le rette tangenti al grafico della funzione nei due punti di coordinate $(0,4)$ e $(2,0)$ (colorate in verde). A partire dalle informazioni deducibili dal grafico:
a. determina il dominio e l'insieme immagine della funzione;
b. spiega perché la funzione non è invertibile;
c. determina $\lim _{x \rightarrow-} f(x), \lim _{x \rightarrow-1} f(x)$ e $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$;
d. determina $f^{\prime}(0), f^{\prime}(2)$ ed $f^{\prime}(-2)$;
e. indica il segno di $f^{\prime}(x)$ nel dominio della funzione;
f. determina $\lim _{x \rightarrow+} f^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow-1} f^{\prime}(x)$ e $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)$.
Considera infine la funzione $g(x)=\sqrt{f(x)}$ e rispondi ai seguenti ulteriori quesiti:
a. determina il dominio di $g$;
b. determina $\lim _{x \rightarrow \infty^{-}} g(x), \lim _{x \rightarrow-1^{+}} g(x)$ e $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)$;
c. determina $g^{\prime}(0)$;
d. spiega perché non esistono $g^{\prime}(-2)$ e $g^{\prime}(2)$;
c. determina $\lim _{x \rightarrow \infty} g^{\prime}(x), \lim _{x \rightarrow-1^{\prime}} g^{\prime}(x)$ e $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} g^{\prime}(x)$,
