Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

$ \int \frac{1}{x^4-8x^2+16} \, dx = \int \frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2} \, dx = \, ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{(x-2)^2(x+2)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{(x-2)^2} $

$ 1 = Ax^3+2Ax^2-4Ax-8A +Bx^2+4Bx+4B +Cx^3-2Cx^2-4Cx+8C +Dx^2-4Dx+4D $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+C &= 0 \\ 2A+B-2C+D &=0\\-4A+4B-4C-4D &=0 \\-8A+4B+8C+4D &=1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = -\frac{1}{32}$
• $B = \frac{1}{16}$
• $A = \frac{1}{32}$
• $B = \frac{1}{16}$

 per cui

$ ⊳ \; = -\frac{1}{32}\int \frac{1}{x-2} \, dx + \frac{1}{16}\int \frac{1}{(x-2)^2} \, dx + \frac{1}{32}\int \frac{1}{x+2} \, dx + \frac{1}{16}\int \frac{1}{(x+2)^2} \, dx = -\frac{1}{32}(ln|x-2|-ln|x+2|) + \frac{1}{16} (\frac{-1}{x-2} + \frac{-1}{x-2}) + c  = -\frac{1}{32}(ln \frac{|x-2|}{|x+2|} + \frac{1}{16} (\frac{-2x}{x^2-4}+ c = -\frac{1}{32}(ln \frac{|x-2|}{|x+2|} - \frac{1}{8} (\frac{x}{x^2-4})+ c $